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Definición de Lógica

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 (Del gr. , terminación femenina de , a través del latín logica); sust. f.

1. Ciencia que comprende las leyes y formas del conocimiento humano, considerando el pensamiento en sí mismo, sin referirlo a los objetos: suspendió la Filosofía de 3º porque no tenía ni idea de lógica.
2. [Por extensión] Razonamiento o método: las últimas películas de Divine carecen de toda lógica, pero son divertidas.
3. [Uso figurado] Modo de razonar particularmente cada inidividuo: la lógica de don Quijote no era cómoda para quienes detentaban la autoridad en su tiempo.

Sinónimos
Razonamiento, raciocinio, razón, conocimiento, entendimiento, método, sistema, sensatez, racionalidad.

Antónimos
Absurdo, incongruencia, despropósito, disparate.

 (1) [Filosofía]

Se define tradicionalmente como la ciencia que se ocupa de formalizar y sistematizar el concepto de inferencia o argumentación deductiva correcta. La tarea de la lógica es, por tanto, definir el conjunto de todas las inferencias deductivas correctas que se corresponden con un determinado concepto de validez. “Inferencia correcta” e “inferencia válida” pueden considerarse conceptos sinónimos si el objetivo de la lógica culmina. Puede decirse también que la lógica es una ciencia formal que estudia las formas de argumentación válida o los diferentes tipos de proposiciones que son lógicamente verdaderas.

La lógica es una ciencia formal como lo son las matemáticas, la lingüística formal, la teoría general de sistemas, la cibernética formal o la informática formal. Las ciencias formales se diferencian de las llamadas ciencias empíricas, como la física, la química, la biología, la psicología, la sociología, etc.; de otros saberes que no tienen carácter científico en sentido estricto, como la metafísica, la ética, la filosofía del lenguaje, etc.; y también de aquellas que, aunque vinculadas a disciplinas científicas, se caracterizan por ser más bien técnicas, como las ingenierías y las didácticas.

Las ciencias formales son aquellas en las que la actividad del pensamiento humano se encamina a la construcción de formas o estructuras abstractas que puedan ser utilizadas para la organización en sistemas de los datos de la experiencia constatados en la realidad. Como escribió Mario Bunge: “La lógica y las matemáticas, por ocuparse de inventar entes formales y establecer relaciones entre ellos, se llaman a menudo ciencias formales, precisamente porque sus objetos no son cosas ni procesos, sino para emplear el lenguaje pictórico, formas en las que se puede verter un surtido ilimitado de contenidos, tanto fácticos como empíricos. Esto es, podemos establecer correspondencias entre esas formas u objetos formales, por una parte, y cosas y procesos pertenecientes a cualquier nivel de la realidad, por otra. Así es como la física, la química, la fisiología, la psicología, la economía y las demás ciencias recurren a la matemática, empleándola como herramienta para realizar la más precisa reconstrucción de las complejas relaciones que se encuentran entre los hechos y entre los diversos aspectos de los hechos; dichas ciencias no identifican las formas ideales con los objetos concretos, sino que interpretan las primeras en términos de hechos y de experiencias (o, lo que es lo mismo, formalizan enunciados fácticos)”.

Las argumentaciones válidas constan usualmente de un conjunto de proposiciones llamadas “premisas” y de otro conjunto llamadas “conclusiones”. La lógica pretende descubrir las condiciones según las cuales las premisas “imponen” o “implican” conclusiones. Precisamente, la indicación más clara para saber qué enunciados expresan proposiciones lógicas es la presencia en ellos de palabras como “así pues”, “por tanto”, “por consiguiente”, “de ahí se sigue”, “si…entonces”, especialmente cuando se emplean con palabras que significan necesidad, como “tiene que”, “no puede”, “necesariamente” o “imposible”, etc. La lógica desde sus orígenes ha tenido como objeto de estudio a los argumentos, entendiendo por “argumento” un conjunto de proposiciones tales que una de ellas, llamada conclusión, se sigue de otra u otras, llamadas premisas. El estudio de los argumentos se ha realizado con cierta frecuencia desde dos perspectivas diferentes. Cuando se ha orientado a analizar los procesos y estructuras mentales que acompañan a las formulaciones lingüísticas de los argumentos se ha adoptado una perspectiva psicológica. Pero cuando no han sido los procesos ni las estructuras psicológicas, sino el análisis y los principios y criterios sobre los que se fundamenta la evaluación de los argumentos, entonces se ha tenido una perspectiva lógica. Aunque no siempre haya estado clara esta distinción en la historia, hoy puede decirse que los estudios de lógica nacen de la necesidad de exhibir los criterios que permiten discernir entre argumentos correctos o incorrectos.

Es necesario distinguir entre argumento y argumentación, conceptos que se refieren a entidades diferentes, pero muy relacionados entre sí. Argumento es una entidad conceptual abstracta, mientras que argumentación es un pasaje lingüístico concreto. Plano lingüístico, conceptual y mental. El plano lingüístico lo configuran expresiones, más o menos complejas, propias de algún lenguaje, mientras que el plano mental viene dado por los procesos que constituyen nuestras formas de pensamiento. Toda expresión lingüística, en cuanto que utilizada por un sujeto inteligente en su función comunicativa, puede concebirse acompañada de un proceso mental por el que se le asocia a la expresión una determinada comprensión de significado. El plano mental se diferencia del plano conceptual en que mientras que los procesos mentales sólo están en la mente de cada individuo inteligente, las entidades conceptuales son de carácter abstracto e independiente de los procesos mentales de los individuos. Es importante señalar que las entidades conceptuales adquieren independencia, no es que sean de por sí independientes; siempre tienen su origen en la actividad cognoscitiva de algún sujeto inteligente, y alcanzan su objetividad y autonomía por poderse explicitar en algún substrato material que sea compartible intersubjetivamente por los miembros de una comunidad cultural. Con frecuencia tales substratos materiales son expresiones lingüísticas mediante las que se formulan contenidos de conocimiento y las comunidades culturales son comunidades lingüísticas, comunidades que comparten un mismo lenguaje. Una entidad conceptual es lo expresado por una entidad lingüística. Para diferenciar estos diferentes planos se distingue entre argumento, argumentación y razonamiento. Los “argumentos” pertenecen al plano conceptual, las “argumentaciones” al plano lingüístico y los “razonamientos” a los procesos psicológicos del plano mental.

Una argumentación es un pasaje lingüístico formado por enunciados (oraciones declarativas) a los que corresponde un valor verdadero o falso. La argumentación tiene una estructura en la que se distinguen dos partes: un conjunto de enunciados a los que se llaman premisas y un único enunciado al que se denomina conclusión. La relación que se da entre premisas y conclusión es aquella en que alguien pretende que la conclusión se siga de las premisas. Un argumento es una entidad conceptual formada por proposiciones, siendo una proposición lo expresado por un enunciado, es decir, argumento es lo expresado por una argumentación. El argumento tiene una estructura similar a la de una argumentación. En él las proposiciones se dividen en premisas y conclusión y se pretende que la conclusión se siga de las premisas.

Las lógicas.

José Ferrater Mora ha reseñado el uso de los principales términos históricos con los que se ha calificado a la lógica. La lógica oriental se refiere a los trabajos lógicos desarrollados dentro de los sistemas de la filosofía india, por ejemplo, en la lógica Nyaya. Lógica occidental es el nombre que recibe el conjunto del trabajo lógico en Occidente desde los griegos hasta la actualidad. Dentro de la lógica occidental han aparecido las denominaciones de lógica tradicional, lógica clásica, lógica vieja, lógica formal, lógica matemática, lógica aristotélico-escolástica, lógica neoescolástica, lógica antigua, lógica medieval, lógica moderna, lógica contemporánea, lógica griega, lógica helenística, lógica simbólica, logística, etc.

El nombre de lógica tradicional, llamada también clásica y vieja, se ha dado a la lógica que va desde sus orígenes griegos hasta Boole y Frege; a veces, también a toda la lógica que no sigue las orientaciones de la lógica formal simbólica, lógica matemática o logística, cualquiera que sea la época a la cual pertenezca; otras veces, a la lógica aristotélico-escolástica (ya en la forma medieval, ya simplemente en la neoescolástica); otras, la lógica producida entre Aristóteles (excluido) y la lógica escolástica medieval; a veces toda la lógica antigua y medieval. Lógica antigua es el nombre que se da a la lógica griega y helenístico-romana desde los presocráticos hasta Boecio aproximadamente.

Lógica griega designa el trabajo lógico desde los presocráticos hasta los comentaristas griegos de Aristóteles y estoicos. Lógica aristotélica es la lógica expuesta en el Organon y algunas otras partes del Corpus aristotelicum. Lógica estoica o también estoico-megárica es la desarrollada principalmente por algunos megáricos y estoicos, pero también elaborada por muchos autores de la Antigüedad y Edad Media. Lógica medieval es el nombre que suele recibir la lógica producida entre Boecio y el siglo XV. Lógica escolástica es, principalmente, la desarrollada por autores escolásticos durante los siglos XIII, XIV y XV. Lógica neoescolástica o aristotélico-tomista es la contenida en los textos de autores de esta tendencia, principalmente neotomistas (véase neoescolástica), desde mediados del siglo XIX. Lógica moderna es el nombre que recibe a veces la lógica de autores de la época moderna a partir del siglo XVI, incluyendo la de autores renacentistas. Lógica contemporánea se llama a veces al conjunto del trabajo lógico desde mediados del siglo XIX, cualquiera que sea la tendencia a la cual pertenezca; a veces, el trabajo lógico durante el siglo XX o inclusive sólo el de los últimos años; a veces, únicamente el trabajo lógico en la dirección de Boole y Frege. A veces se han usado las expresiones “lógica simbólica”, “lógica matemática” y “logística” para referirse a la lógica contemporánea. En ocasiones se ha usado la expresión “lógica nueva” o “nueva lógica”.

La complejidad de algunos calificativos aplicados a la lógica en la Edad Media llevó a L. M. de Rijk en su obra Logica modernorum a aclarar su significado. Se llamó Logica vetus al Corpus lógico constituido por las Categorías y el De interpretatione, de Aristóteles; el Isagoge, de Porfirio; los comentarios de Boecio a los tres escritos mencionados y algunos otros escritos lógicos de Boecio. Hacia 1200 se añadió a este Corpus el De Sex Principiis atribuido a Gilbert de la Porrée. Además de la expresión logica vetus, se usó al respecto la expresión ars vetus. Lógica nova se llamó, a partir de las últimas décadas del siglo XII y especialmente a partir del siglo XIII, al Corpus lógico constituido por los dos Analíticos, los Tópicos y la Refutación de los sofistas, de Aristóteles, que habían sido ignorados durante parte del período medieval. Se habló también de ars nova. Logica antiqua o Logica antiquorum son nombres usados para referirse conjuntamente al ars vetus y al ars nova. Logica moderna o logica modernorum se usó para designar los elementos de la lógica medieval que no entraban dentro de la logica antiqua o logica antiquorum. Se consideró como fundador de la lógica moderna a Pedro Hispano, con sus Summulae logicales. Aunque dicho autor no puede ser considerado como fundador de tal lógica hay en las Summulae ciertos elementos lógicos que, convenientemente elaborados, dieron origen a un Corpus propiamente llamado lógica moderna o logica modernorum.

La lógica formal, especialmente la lógica formal deductiva, debe distinguirse de otros tipos de lógica, como por ejemplo la lógica dialéctica, la lógica histórica, la lógica concreta, la lógica vital, etc. Como ha señalado Ferrater Mora, estas “lógicas” son, en rigor, esquemas metafísicos y en muchos casos bosquejos ontológicos o programas de filosofía.

Una de estas lógicas es la llamada lógica empírica o lógica de la inducción, que tiene en John Stuart Mill su principal representante. Según esta lógica, los objetos de que trata son el resultado de generalizaciones empíricas efectuadas sobre lo real por medio del uso de una abstracción nominal. En gran parte, esta lógica viene a ser una metodología del conocimiento científico. Otra es la lógica psicologista, representada entre otros por Beneke, Lipps, Baldwin y Ziehen, quienes afirman que los principios lógicos son pensamientos y la lógica revela la estructura objetiva de los mismos al deber responder a la pregunta ¿cómo pensamos efectivamente la realidad en la medida en que nuestro pensar no sea un arbitrario discurrir? Una tercera dirección es la llamada lógica normativista (Kant, Herbart, Goblot), que pretende responder a la pregunta ¿cómo debemos pensar para que nuestro pensamiento sea correcto? Yuxtapuesta a estas lógicas aparece con frecuencia la llamada lógica metodológica, representada entre otros por Wundt, Sigwart y algunos teóricos de la ciencia de orientación positivista clásica (véase positivismo). Se trata de una tendencia lógica que estudia con preferencia los problemas de lógica inductiva en un sentido semejante a como fueron tratados por los empiristas del ochocientos.

La lógica gnoseológica, derivada en gran parte de Kant y representada por Wundt, Sigwart, Schuppe, von Kries y neokantianos de la Escuela de Marburgo (véase neokantismo) como Hermann Cohen, tuvo por supuesto fundamental el estudio de la constitución lógica del plano trascendental y la explicación a partir del mismo de la correspondencia entre la realidad y las operaciones lógicas, lo que fue casi siempre un prolegómeno a la teoría del conocimiento (véase en conocimiento). Cohen llegó a afirmar que hay que comenzar con el pensar y que la lógica no es sino una teoría del conocimiento. La lógica formal era para Cohen, un “espectro”. No pueden, a su entender, darse formas que no signifiquen algo. Y como lo significado es el conocimiento, resulta que las formas de la lógica son formas del conocimiento. Dada la identidad del pensar y del ser, la lógica puede ser definida en esta orientación como “la teoría de los conocimientos puros”.

Las lógicas metafísicas son, en un sentido amplio, todas las tendencias lógicas en las que hay, explícita o implícitamente, una ontología subyacente. Pero en un sentido estricto se deben considerar metafísicas solamente las lógicas para las cuales el correlato de las operaciones lógicas es una realidad metafísica o considerada como tal, como por ejemplo la lógica dialéctica de Hegel y hegelianos como Bradley y Bosanquet. También pueden considerarse lógicas metafísicas aquellas doctrinas en las cuales el término “lógica” se acompaña de calificativos como “concreta”, “histórica”, “vital”, “existencial”, “total” “filosófica”, “totalitaria”, “orgánica”, “integral”, o está presente en expresiones como “lógica de la contradicción”, “lógica del pensamiento concreto”, “lógica del logos” o “lógica del pensamiento esencial” y “lógica dialéctica”. La lógica dialéctica considera que la lógica formal no es sino la lógica del sentido común, del pensamiento humano dominado por los principios de identidad, contradicción y tercero excluido. La lógica dialéctica se presenta como una fase evolutiva posterior y definitiva en el desarrollo de la ciencia del pensamiento que sustituiría a la estática e inmutable lógica formal superándola, dado que la primera sería incapaz de expresar la verdadera naturaleza de la contradicción real. Hegel fue el primero en exponer las formas generales de la lógica dialéctica en forma comprensiva y plenamente consciente, mientras que Marx y Engels purgarían la dialéctica hegeliana de sus elementos místicos y la colocarían sobre una sólida base materialista.

La lógica fenomenológica sigue la línea de Bolzano y Husserl afirmando, contra el psicologismo y contra el extremo formalismo, la independencia y la consistencia de las llamadas “leyes ideales”. El objeto de esta lógica es el objeto ideal (Pfänder), el cual no puede reducirse ni a una forma enteramente vacía ni tampoco a una esencia de índole metafísica. El objeto ideal es el objeto pensado, el contenido intencional del pensamiento. De ahí la definición de Pfänder: “la lógica es la ciencia de los pensamientos como tales”. La lógica abarca de este modo todos los pensamientos, y no solamente los enunciativos.

Historia de la lógica.

Según Bochenski, la historia de la lógica formal puede ser representada mediante una sinusoide, con tres períodos de gran desarrollo: de Aristóteles al estoicismo; la Edad Media en los siglos XII, XIII, XIV y parte del XV; y la época contemporánea desde Boole o Frege. En los períodos intermedios tuvieron lugar movimientos de retroceso, en parte por la excesiva simplificación, en parte por olvido de la tradición. Hubo excepciones en los períodos de retroceso, pero no logran modificar sustancialmente la imagen bosquejada, pues incluso la gran excepción de la época moderna, Leibniz, permaneció durante mucho tiempo sin influencia apreciable. Siguiendo básicamente el esquema propuesto por Bochenski, señalaremos en un esbozo los principales resultados obtenidos en lógica y las ideas lógicas más destacadas mantenidas por los grandes autores, tendencias y períodos.

La lógica de Aristóteles.

Los escritos lógicos de Aristóteles llegados hasta nosotros consisten en un conjunto de cinco tratados, a cuya reunión dieron los antiguos el nombre de Organon, palabra griega que significa “instrumento”. El primer tratado se titula Categorías y se ocupa principalmente de las diversas clases de objetos que pueden actuar como sujetos o como predicados en una proposición. A esto, que constituye una teoría de los términos, sigue una teoría de la proposición estudiada en el De interpretatione o Perihermeneias, donde se contiene una discusión casi exhaustiva de las categorías sintácticas del discurso, además de ciertos principios más generales de la lógica aristotélica (por ejemplo, el principio de tercero excluido). Siguen luego los Primeros Analíticos que se ocupan, como tema principal, de la teoría de la deducción y desarrollan en especial la famosa silogística aristotélica. Los Segundos Analíticos tratan, en cambio, no ya de la técnica deductiva sino más bien de las condiciones que deben satisfacer las proposiciones iniciales de las demostraciones para que haya verdadera ciencia, conteniendo la exposición más sistemática de la teoría aristotélica de la ciencia y la consideración del método axiomático en su versión clásica. Los Tópicos constituyen una especie de colección de reglas prácticas y de esquemas típicos de demostración para adquirir cierta práctica en el manejo de los procedimientos fundamentales para la resolución de problemas concretos a los principiantes de una cierta disciplina. Las Refutaciones sofísticas son, por último, una especie de apéndice de los Tópicos dedicado al arte de descubrir las falsas sutilezas de razonamiento. Indudablemente hay otros muchos temas que acompañan a estas cuestiones fundamentales.

La inferencia.

La aportación principal de la obra lógica de Aristóteles se dio en el campo de la inferencia. Sus resultados más destacados estuvieron en la elaboración de su teoría del silogismo que quedó programáticamente propuesta por Aristóteles como una “teoría general de la inferencia”: el silogismo es “un argumento en el cual, establecidas ciertas cosas, resulta necesariamente de ellas, por ser lo que son, otra cosa distinta de las antes establecidas” (Analíticos Primeros, 1, 24b, 18).

En la parte central de su teoría, Aristóteles sólo consideró cuatro tipos diferentes de proposiciones a partir de las cuales formuló sus propuestas de argumentación válida. Las cuatro proposiciones son: el universal afirmativo, ‘Todo S es P’ (A); el universal negativo, ‘Ningún S es P’ (E); el particular afirmativo, ‘Algún S es P’ (I); y el particular negativo ‘Algún S no es P’ (O). Las letras ‘S’ y ‘P’ son variables predicativas que toman como valores sustantivos generales, de tal manera que una forma proposicional del tipo (I), ‘Algún S es P’, se convierte en la proposición ‘Algún hombre es mortal’ al sustituir ‘S’ y ‘P’ por ‘hombre’ y por ‘mortal’, respectivamente. Aristóteles también consideró las proposiciones individuales, como ‘Sócrates es mortal’, que comentaristas posteriores asimilaron a las proposiciones universales afirmativas. La manera gráfica, postaristotélica, de representar las relaciones lógicas entre las proposiciones categóricas aristotélicas (A, E, I, O) se conoce con el nombre de “cuadrado de oposición”. OJO

Las relaciones lógicas que se dan entre estas proposiciones son: las contrarias (A, E; esto es, las proposiciones universales), pueden ser ambas falsas, pero no ambas verdaderas; las subcontrarias (I, O; las proposiciones particulares), en cambio, pueden ser ambas verdaderas, pero no ambas falsas; por otra parte, con respecto a la subalternación, de la verdad de cualquiera de las contrarias (A, E), se sigue la verdad del la subcontraria correspondiente (I, O) y de la falsedad de cualquiera de las subcontrarias (I, O), se sigue la falsedad de las contrarias correspondientess (A, E). Finalmente, las proposiciones contradictorias tienen siempre valores veritativos opuestos: si una de ellas es verdadera, la otra es falsa y a la inversa.

Aristóteles desarrolla la teoría del silogismo considerando todas las formas válidas posibles de inferencia dentro de este esquematismo lógico. Conforme a él, son válidas las inferencias que, de un enunciado universal como premisa van a un enunciado particular como conclusión, es decir, los siguientes esquemas (formas de argumento) muestran formas válidas de inferencia: “Todo S es P, por consiguiente, Algún S es P”; “Ningún S es P, por consiguiente, Algún S no es P”. Donde ‘S’, ‘P’ y ‘M’ son los términos del silogismo. Los silogismos aristotélicos son esquemas de argumentación compuestos de dos premisas y una conclusión. En los silogismos deben de figurar, entre premisas y conclusión, exactamente tres términos, es decir, sólo tres expresiones diferentes de las que forman los sujetos y los predicados de las tres proposiciones.

(Véase la voz silogismo).

La verdad.

Además de su teoría del silogismo, contribución principal en el campo de la inferencia, Aristóteles hizo a la lógica una aportación fundamental en el campo semántico al definir rigurosamente el concepto de verdad. En su Metafísica escribe: “Decir de lo que es que no es, o de lo que no es que es, es lo falso; decir de lo que es que es, y de lo que no es que no es, es lo verdadero” (Metafísica, 1011 b, 26-27). Es decir, para Aristóteles una proposición es verdadera cuando afirma que las cosas se hallan de un modo determinado, y las cosas se hallan realmente de ese modo. En el caso contrario nos encontramos con una proposición falsa. Este concepto de verdad como “correspondencia con los hechos”, que se encuentra ya en el Cratilo y en el Sofista de Platón, fue asumido por la lógica moderna.

Partiendo de esta definición de verdad, Aristóteles se planteó la cuestión de si una proposición es siempre definidamente verdadera o definidamente falsa o caben otros posibles casos alternativos. En el De Interpretatione, Aristóteles consideró el problema de los llamados “futuros contingentes”, es decir, si tiene sentido afirmar, por ejemplo, que una proposición del tipo “mañana aquí se librará una batalla naval” es verdadera o falsa. Según Lukasiewicz, Aristóteles sería el padre de las modernas lógicas polivalentes por haber sugerido la posibilidad de un tercer valor de verdad junto a verdadero y falso. Según algunos comentaristas de Aristóteles, Lukasiewicz habría forzado anacrónicamente la posición de Aristóteles desde la lógica moderna. Más allá de la polémica originada en los años veinte sobre esta cuestión parece cierto que Aristóteles por lo menos planteó el problema de la polivalencia.

La importancia de la contribución de Aristóteles a la lógica ha sido enorme. Además de ser el primer lógico formal de la historia, su obra ha pervivido durante más de dos milenios como la lógica por excelencia, bien porque ha inducido a la mayoría de los pensadores a considerar que había sentado sus bases de una vez para siempre, como reconoció el propio Kant, o bien, como observó H. Scholz, porque “hasta hoy no existe ninguna forma concebible de lógica, por muy distinta que sea de la lógica formal, que no tenga alguna clase de conexión con la obra aristotélica”.

Lógica estoico-megárica.

La lógica griega postaristotélica ocupó hasta hace relativamente poco tiempo escaso lugar en las historias de la lógica. No obstante, los testimonios que hablan de ella en los historiadores y críticos helenísticos han corregido la imagen habitual de éste y otros períodos de la historia de la lógica. Determinante al respecto ha sido la investigación de Lukasiewicz, sobre la cual se han basado los sólidos y amplios trabajos de M. Bochenski y Benson Mates. Como resultado de estas investigaciones puede afirmarse con seguridad la riqueza del pensamiento lógico en esta época, a lo cual cabe agregar la preocupación por parte de muchos autores hacia problemas de carácter semiótico y hacia cuestiones metodológicas, frecuentemente centradas en torno a las formas de inferencia científica.

El fundador de la escuela de Megara fue Euclides de Megara y se consideran sus figuras más famosas Eubúlides de Mileto, Diodoro Cronos y Filón de Megara. Crisipo se tiene como el máximo exponente lógico de la escuela de estoica. Aquí nos limitaremos a señalar la aportación realizada por estos autores en tres ámbitos lógicos: los conectores, las paradojas y la semántica.

En primer lugar, los lógicos megáricos y estoicos desarrollaron la teoría de los conectores propia de la lógica de proposiciones. La lógica de Aristóteles carecía de una teoría sistemática de los conectores, aunque en determinadas ocasiones hubiera echado mano de determinadas leyes lógicas proposicionales. Aristóteles fue consciente, por tanto, de que ciertas leyes lógicas no dependían de la teoría del silogismo y su discípulo Teofrasto inició el desarrollo de una teoría de los conectores. Pero fueron los lógicos megáricos y estoicos quienes propiamente realizaron un análisis de los conectores “no”, “y”, “o”, “si… entonces”. En este análisis, en la actualidad llamado “veritativo-formal”, estudiaron las condiciones necesarias y suficientes para que una proposición compuesta por conectores fuera verdadera o falsa, suponiendo que se conozca la verdad o falsedad de las proposiciones que la componen.

De un modo especial, los lógicos megáricos y estoicos elaboraron una depurada teoría de la implicación en las proposiciones condicionales (“si…entonces”). Así, Filón de Megara esbozó un concepto de implicación que correspondería a la llamada por Beltrand Russell “implicación material”. Según Sexto Empírico, en su Pyrrhonnelae Hypotyses, para Filón “una proposición es válida cuando no empieza con una verdad y termina con una falsedad; por ejemplo, cuando es de día y yo platico entonces la proposición ‘si es de día entonces platico’ es válida”. Filón habría establecido que una proposición condicional siempre es válida excepto cuando el antecedente sea verdadero y el consecuente falso.

A este modo de entender la implicación se opuso Diodoro Cronos. Según Sexto Empírico: “Diodoro dice que una proposición condicional es válida cuando ni pudiera ni puede comenzar con una verdad y terminar con una falsedad”. Para Diodoro, el condicional ‘si es de día, entonces yo platico’ es falso; y lo es porque cuando es de día y yo suspendo mi plática tal proposición comienza con una verdad y termina con una falsedad. Por contra, la proposición ‘si los elementos atómicos de las cosas no existen entonces los elementos atómicos de las cosas existen’ es verdadera. En efecto, según el razonamiento de Diodoro, esta proposición se iniciaría siempre con un antecedente falso (los elementos atómicos de las cosas no existen) y terminarían siempre con un consiguiente verdadero (los elementos atómicos de las cosas existen)”. Para Diodoro, por tanto, un condicional es verdadero cuando la conjunción del antecedente con la negación del consecuente no puede ser verdadera.

Otra concepción de las proposiciones condicionales fue la que Cicerón atribuyó al estoico Crisipo y que transmitió también Sexto Empírico: “un condicional es válido cuando la contradicción del consecuente es incompatible con el antecedente. Para los autores de esta última definición los dos condicionales aludidos más arriba son falsos, en tanto que sería verdadero el condicional siguiente ‘si es de día, entonces es de día'”. Se trata de una caracterización que corresponde enteramente a la idea de implicación estricta de la que habla la lógica moderna.

En segundo lugar, debe destacarse por la importancia que llegaría a tener en el desarrollo de la historia de la lógica el planteamiento de la “paradoja del mentiroso” (véase en la voz paradoja), atribuida a Eubúlides de Mileto. Si alguien dice “estoy mintiendo”, ¿es verdadero o falso esto que dice? Si lo que dice es verdad, entonces, está mintiendo, por tanto, lo que dice es falso, entonces no está mintiendo; por otra parte, si lo que dice es falso, entonces no está mintiendo, esto es, está diciendo la verdad, a saber, está mintiendo. La conclusión es, entonces, que si está mintiendo está diciendo la verdad y si está diciendo la verdad, entonces está mintiendo. Esto muestra que el sujeto, a la vez, miente y no miente, es decir, la persona que afirma “miento” provoca una contradicción al mentir si y sólo si dice la verdad. Esta paradoja de Eubúlides suscitó durante siglos análisis y discusiones de todo género, pero no obtuvo una solución definitiva hasta el siglo XX, cuando se distinguió rigurosamente entre los niveles lingüísticos de lenguaje-objeto y metalenguaje.

La tercera contribución, en este caso semántica, fue la propuesta hecha por la escuela estoica de una teoría del significado en la que aparecerían claramente delimitados los dos aspectos semánticos que en la lógica moderna se llaman “extensión” e “intensión”. Según Sexto Empírico: “los estoicos sostienen que son tres las cosas que van conexas: lo que es el significado, lo que significa y, por último, el objeto. Lo que significa es un discurso, por ejemplo, ‘Dión'; lo que es el significado es aquello que viene expresado y que nosotros comprendemos con nuestro pensamiento, pero no los bárbaros, por más que oyen la misma palabra. Por último, el objeto es aquello que existe externamente, en este caso el mismo Dión. De estos tres elementos, hay dos que son corpóreos: el discurso y el objeto, en tanto que la cosa significada, es decir, el ‘lektón’… es incorpórea”. El objeto correspondería a lo que hoy se llama extensión en el sentido de la referencia concreta de un complejo de signos y ‘lektón’ sería la intensión, el concepto que el discurso expresa.

La lógica medieval.

Tras las invasiones bárbaras que aislaron al occidente latino de la cultura griega, las únicas obras lógicas de las que dispusieron las escuelas monásticas fueron las de Boecio (hacia 480-524) y algunos otros manuales de escaso valor, como el De Nuptiis Philologiae et Mercurii de Marciano Capella.

Los escritos de Boecio incluían traducciones de las Categorías y del De Interpretatione de Aristóteles, así como de la Isagoge de Porfirio. Además de comentarios literales a estos textos, Boecio había escrito tratados propios sobre silogismos categóricos e hipotéticos y sobre argumentos retóricos y dialécticos (o “tópicos”), añadiendo a éstos un comentario sobre los Tópicos de Cicerón. Esta herencia fue importante para el desarrollo posterior de la lógica medieval en dos aspectos. En primer lugar, trasmitió solamente aquellos elementos de la lógica aristotélica que trataban la sintaxis y la semántica del lenguaje y las inferencias silogísticas y lógicas, segregando así la teoría de la inferencia de la doctrina aristotélica de la demostración científica. Pero también trasmitió fragmentos de la doctrina de la implicación estoico-megárica y de la teoría de Teofrasto sobre los silogismos hipotéticos. De importancia decisiva fue también el hecho de que en el programa educativo de las primeras escuelas medievales la lógica fue considerada como un “arte del lenguaje” estrechamente asociada con la gramática y la retórica, útil para interpretar textos de la Biblia y de los Padres de la Iglesia y para reconciliar contradicciones aparentes, halladas en tales textos. Estos factores tendieron a configurar la concepción medieval de la lógica como una disciplina que estudia la sintaxis y la semántica del lenguaje natural y la validez de las formas de inferencia.

Los primeros escritos lógicos medievales de Alcuino de York, Erie de Auxerre (841-876), Abbo de Fleury (muerto en el 1000), Gilberto de Aurillac (Papa Silvestre II) y Garland el Calculador (hacia 1040) mostraron una pobre comprensión de la herencia de Boecio. Pero en el siglo XI surgió una clase de lógicos profesionales o “dialécticos” que provocaron fuertes controversias sobre la corrección de aplicar criterios lógicos a la interpretación de la Escritura o de las doctrinas teológicas. Pedro Damiano (1007-1072) puso en duda la validez del principio de contradicción referido a todo lo que cae bajo el poder de Dios y Roscelino fue condenado por hereje al aplicar la lógica de identidad a la doctrina de la Trinidad. San Anselmo trató, en su Dialogus de Grammatico, la distinción entre el significado (significatio) y la referencia (apellatio) de los términos generales.

El primer lógico medieval importante fue Pedro Abelardo. Sus escritos incluyen comentarios literales detallados y críticos sobre la Isagoge de Porfirio, las Categorías y el De Interpretatione de Aristóteles y el De Diferentiis Topicis de Boecio. La obra más importante de Abelardo fue un tratado en cinco libros titulado Dialéctica. En esta obra trata sistemáticamente las “partes” o constituyentes de las proposiciones, las proposiciones y los silogismos categóricos, los argumentos tópicos y la noción de consecuencia lógica, los silogismos hipotéticos, y la definición y la división. Trabajando sólo con los materiales de Boecio, que completaba con fragmentos de la lógica estoica tomados de las Institutiones Grammaticae de Prisciano, Abelardo llevó a cabo una reconstrucción crítica del legado de Boecio en la cual la orientación formal y lingüística característica de la extensión estoico-megárica de la lógica aristotélica prevalecía sobre la interpretación metafísica que subsistía desde Porfirio y la tradición neoplatónica. En su doctrina sobre la inferencia, Abelardo distinguió argumentos válidos solamente por su forma lógica, de aquéllos cuya fuerza depende de contenidos o significados factuales, y sostuvo que sólo los primeros constituyen argumentos “perfectos” o “lógicamente concluyentes”. Sus detalladas discusiones sobre las funciones de la cópula, de los prefijos cuantificacionales, del signo de negación (que trató como una función de verdad) y de las conectivas proposicionales condicional y disyuntiva sentaron las bases de muchos de los desarrollos que se hicieron explícitos en los tratados del siglo XIII sobre los Syncategoremata y sobre “las propiedades de los términos”.

Después de la muerte de Abelardo se introdujeron en Occidente los restantes libros del Organon aristotélico, la Metafísica, la Física y el De Anima de Aristóteles, junto con obras de los filósofos árabes Avicena y Averroes, gracias a traducciones del árabe y del griego. A las partes del Organon de nueva adquisición se las denominó “la nueva lógica” (ars nova) para distinguirla de la parte ya conocida, “la vieja lógica” (ars vetus). De las partes nuevas, el De Sophisticis Elenchis llamó la atención de los lógicos del siglo XII porque su contenido no había sido transmitido en los tratados de Boecio y porque la detección y resolución de los argumentos falaces guardaba estrecho parentesco con el método escolástico de la “cuestión disputada”, que por entonces comenzó a arraigar en las escuelas. Una manera de ejercitar la habilidad dialéctica, que se encuentra ya en obras tan tempranas como el Ars Disserendi de Adam de Balsham (escrita en 1132), fue proponer tesis paradójicas, “sofismas” (sophismata), de las que parecían seguirse conclusiones contradictorias, y resolverlas después poniendo de manifiesto las dificultades lógicas encubiertas.

A partir de la fundación de las universidades de París y Oxford, a principios del siglo XIII, la enseñanza de la lógica se introdujo en la Facultad de artes. Ello conllevó que el desarrollo de la lógica continuara dentro de la línea formal y lingüística ya establecida en el siglo XII, pero enriquecida con materiales sacados de las nuevas traducciones de los Primeros Analíticos, los Tópicos y el De Sophisticis Elenchis. En las Facultades de teología se estudiaron más tarde los Segundos Analíticos y el Organon en su conjunto, en el contexto de la metafísica y la teoría del conocimiento de Aristóteles y, utilizando las obras de Avicena y Averroes, escribieron comentarios literales sobre los tratados aristotélicos en un esfuerzo por recuperar “el Aristóteles original” en su auténtica forma. Tales comentarios fueron escritos por Roberto Grossatesta, Tomás de Aquino, Robert Kilwardby y Gil de Roma (hacia 1274-1316). Alberto Magno escribió paráfrasis de cada uno de los libros del Organon como parte de su enciclopédica empresa de escribir tratados que correspondieran a toda obra de Aristóteles. Con respecto a la lógica, surgió en el siglo XIII un “purismo” aristotélico promovido por los teólogos, pero simultáneamente tuvo lugar un desarrollo de nuevos métodos y problemas lógicos en las facultades de artes. El purismo aristotélico fue llamado lógica antigua y la lógica de las facultades de artes se conoció como lógica moderna.

Son representativos de la lógica enseñada en la facultad de artes de la Universidad de París a mediados del siglo XIII los tratados y manuales escritos por Guillermo de Sherwood (ca. 1200-1271) y Pedro Hispano. Guillermo de Sherwood escribió De Insolubili, sobre la paradoja del Mentiroso, el tratado De Obligationibus, el Syncategoremata, en el que se examinan las funciones lógicas (“no”, “y”, “si”, “todo”, “alguno”, etc.) y la Introductiones in Logicam que consta de seis tratados. El tratado sexto de esta última obra introduce la noción de suposición de términos, una de las contribuciones medievales más originales a la lógica. Quizá la parte más interesante del tratamiento de las proposiciones de Sherwood es su consideración de las proposiciones doblemente universales, donde explícitamente introdujo la noción del alcance de un cuantificador que se extienda hasta incluir al otro. Las Summulae Logicales de Pedro Hispano contienen seis tratados sobre los temas tradicionales (incluyendo las categorías) y seis tratados dedicados a las nuevas doctrinas sobre las “propiedades de los términos”. Este texto lógico gozó de gran popularidad a finales de la Edad Media y se imprimieron de él más de 150 ediciones, muchas de ellas con comentarios de lógicos posteriores.

Hacia finales del siglo XIII el cultivo de la lógica moderna trasladó su centro geográfico de París a Oxford, donde el culto al aristotelismo era menos pronunciado. El comentario de Robert Kilwardby sobre los Primeros Analíticos escrito en Oxford a finales del siglo XIII muestra una comprensión aguda y crítica de los problemas formales; las obras de Duns Scoto ponen en evidencia esta familiaridad con las doctrinas lógicas de la facultad de artes y la Summa Logicae (1326) de Guillermo de Ockham inauguró el período de madurez de la lógica medieval. Lo característico de esta etapa fue que la logica moderna suministró un marco dentro del cual fue absorbida la herencia aristotélica y reconstruida sobre nuevos fundamentos. La lógica aristotélica de términos fue reconstituida desde la perspectiva de la teoría de la suposición de términos y las leyes de inferencia y del silogismo fueron basadas en una teoría general de la implicación (consequentia), en la que se reconoció a la lógica de las proposiciones no analizadas como más fundamental que la lógica de predicados. A ello contribuyeron también de modo significativo Juan Buridan, que escribió una Summula de Dialectica y tratados sobre las Consequentiae y sobre los Sophismata; Walter Burley, que escribió un tratado titulado De Puritate’ Artis Logicae; Alberto de Sajonia, cuya Summa Logicae integraba las contribuciones de Ockam y Buridan; y Guillermo Heytesbury, Ralph Strode y Richart Ferabrich, todos de Oxford, cuyos escritos sobre lógica tuvieron gran influencia en Italia en el siglo XV. Desde finales del siglo XIV hasta principios del XVI la tradición lógica de París y Oxford floreció en las universidades alemanas e italianas, donde sus doctrinas fueron activamente discutidas sin ser esencialmente alteradas o significativamente desarrolladas. La Logica Magna de Pablo de Venecia (muerto en 1429) representa la última lógica medieval en su forma avanzada y constituye una verdadera enciclopedia de la tradición total.

Aparte de la tradición principal de la lógica medieval debe aludirse a la importantísima figura del mallorquín Raimon Llull, quien concibió un sistema combinatorio de conceptos elementales llamado Ars Universalis con el propósito de ser usado para probar la verdad de la fe cristiana. La elección de los conceptos fundamentales de Llull no logró hacer fructífero al método, pero la idea básica de tal método combinatorio ejerció fascinación sobre las generaciones posteriores y pudo haber sugerido a Leibniz su empresa de construir una characteristica universalis. Llull diseñó incluso máquinas formadas por discos rotatorios superpuestos por medio de los cuales podían realizarse mecánicamente sus cálculos, empresa que quizá le da derecho a ser llamado el padre de la programación de computadores.

Lógica moderna: Leibniz.

Beltrand Russell consideró a Leibniz como “el fundador de la lógica matemática”. Sin embargo, no se trata tanto del “primer lógico matemático moderno” cuanto de un genial anticipador del espíritu de la moderna ciencia de la lógica. Leibniz introdujo en la lógica un punto de vista inédito hasta entonces, pero no por ello debe ser considerado como iniciador de una revuelta contra la lógica aristotélica. Por el contrario, es posible encontrar también en él rasgos de continuidad entre los puntos de vista antiguos y los nuevos planteamientos. El propio Leibniz tenía conciencia de la positiva contribución a la lógica de los antiguos cuando llegaba a atribuir a Aristóteles su idea de una lógica matemática: “No es en verdad cosa de poca monta el que Aristóteles haya reducido estas formas a leyes infalibles y, con ello, haya sido efectivamente el primero en escribir matemáticamente fuera de las matemáticas”.

Leibniz consideró necesario ir más allá del nivel alcanzado por la lógica antigua para dotar a la metafísica de un instrumento suficientemente potente que le permitiera alcanzar el mismo grado de rigor y de “dignidad científica” que ya habían alcanzado las matemáticas. Como le parecía que las interminables polémicas de la metafísica eran debidas a la ambigüedad de los términos y de los procesos conclusivos del lenguaje ordinario, Leibniz concibió la idea central de su nueva lógica como proyecto de creación de una lógica simbólica y calculadora, en analogía con los procedimientos matemáticos. Esta idea había ido madurando históricamente a partir de los rápidos desarrollos de la matemática durante los siglos XVI y XVII. Este veloz progreso de las matemáticas se debía, en gran medida, al hecho de que las matemáticas habían ido construyendo un simbolismo cada vez más manejable y seguro, capaz de funcionar sin necesidad de hacer continuamente referencia a contenidos geométricos intuitivos, y sujeto a operaciones que eran reglas para la manipulación de símbolos. El simbolismo matemático fue el paradigma que inspiró el proyecto leibniziano de una nueva lógica.

La idea central de la lógica leibniziana fue la de un “cálculo lógico”, más general que los mismos cálculos matemáticos, que aparecen ligados al concepto de “cantidad”: “Cuando yo era todavía un muchacho con un conocimiento elemental de lógica común, y sin instrucción matemática, me vino el pensamiento, no sé por qué instinto, de que podría inventarse un análisis de las ideas en el que, de alguna forma combinatoria, las verdades podrían ser producidas y estimadas como si se las tratase por números” (Elementa Rationis). La idea de cálculo para Leibniz se encuentra profundamente relacionada con otras dos de sus ideas más fundamentales: la constitución de un lenguaje universal (characteristica universalis) y la posibilidad de mecanización de todo tipo de razonamiento (ars combinatoria). La constitución de un lenguaje universal (characteristica universalis) es una anticipación de los modernos lenguajes artificiales, es decir, lo que hoy llama la lógica “aritmetización de los lenguajes”. Leibniz anduvo constantemente atareado con el intento de diseñar un alfabeto del pensamiento o characteristica universalis, que representase ideas de una forma lógica, no cosas de una forma pictórica, y fuese operacionalmente mecánico, inequívoco y no cuantitativo; este alfabeto del pensamiento sería un medio de descubrimiento, un soporte de la intuición, y una ayuda para concluir disputas.

Leibniz fue consciente de que una vez analizados los discursos en ideas simples e ideas compuestas, siempre se podía representar todo discurso con un número asociando números naturales a ideas simples y representando toda idea compuesta de ideas simples como un producto de números primos cuyos exponentes fueran los números asociados a las ideas simples que integran la idea compuesta. La idea de descomponer conceptos en “factores primos” sugirió a Leibniz la posibilidad de continuar los pasos iniciales hacia un lenguaje universal dados por John Wflkins (1668), Jean Joachim Becher (1661), George Dalgarno (1661), Athanasius Kircher y otros. Deseaba que un lenguaje tal no fuera tan sólo de utilidad práctica comercial, como lo eran muchos de los esfuerzos pioneros, sino que estuviera lógicamente construido, y de esta forma poseyera una importancia científica general. Leibniz distinguió el lenguaje universal del cálculo lógico y pretendió basar su lenguaje en un minucioso análisis de la función comunicativa de las diversas partes del habla, tiempos, sufijos, etc. y en cierta manera (Analysis Linguarum, 1678), concibió un latín básico muy en la línea del inglés básico de C. K. Ogden y I. A. Richards.

Al decir que los nombres expresan ideas y los verbos expresan proposiciones, Leibniz alteró radicalmente la base aristotélica de la distinción y forjó, en germen, el concepto de una función proposicional. Tales reflexiones le llevaron a un programa reduccionista, en el que los adverbios son reducidos a (derivados de) adjetivos y los adjetivos a nombres, y en el que la cópula es tomada como el único verbo fundamental. Reconoció que las partículas, las conectivas y las preposiciones tienen una importancia especial en la estructura lingüística. Esta parte del pensamiento leibniziano constituye un importante capítulo en la historia de las relaciones entre la gramática y la lógica. La gramática había ejercido gran influencia en la constitución de la lógica escolástica, pero cedió al tercer miembro del trivium medieval, la retórica, su puesto de poder dominante. En los proyectos de un lenguaje universal y racional se reafirma la gramática. Pero Leibniz no se daba por satisfecho confiando la lógica a las artes “triviales”.

La segunda idea profundamente relacionada con el cálculo lógico fue la posibilidad de mecanización de todo tipo de razonamiento (ars combinatoria), la esperanza de encontrar un algoritmo capaz de resolver de modo mecánico cualquier problema racional: “Cuando surjan controversias no habrá necesidad de disputas, al igual que no las hay entre dos contadores. Bastará con tomar la pluma, sentarse ante el ábaco y decirse recíprocamente: ¡calculemos!”. En esta idea Leibniz se considera deudor de Llull y y de Hobbes. Raimon Llull había escrito un trabajo combinatorio, Ars Magna, que cautivó la imaginación de Leibniz, aunque éste pronto comprendió sus deficiencias, y Thomas Hobbes había disertado sugerente, pero ineficazmente, sobre el tema “por razonamiento entiendo computación” (“Computatio Sive Logica”, en De Corpore).

El cálculo lógico de Leibniz se presentó como un “cálculo de conceptos” y estaba muy próximo formalmente al moderno “cálculo de clases”, que incluía como fundamental una teoría de la identidad. Si las ideas de Leibniz sobre el cálculo no pueden asimilarse sin más al cálculo de clases fue porque Leibniz se preocupaba por darle al mismo tiempo una interpretación extensional e intensional, vocablos lógicos creados por el mismo Leibniz, que hizo prevaler incluso, desde un punto de vista filosófico, la interpretación intensional. La presencia de esta doble interpretación creaba algunos problemas que, aunque fueran planteados de un modo similar a como dos siglos más tarde los planteara Frege en estrecha conexión con la cuestión del significado de la identidad, Leibniz no llegó a solucionar.

Un problema discutido es el de si se da en la lógica de Leibniz la presencia de una teoría sobre la lógica relaciones. La negativa, avalada por Beltrand Russell, a ver en la lógica de Leibniz una dimensión relacional por considerarla incompatible con sus planteamientos metafísicos para los que son absolutamente fundamentales la estructura sujeto-predicado de las proposiciones ha sido cuestionada recientemente. Se ha mostrado cómo en Leibniz no sólo se encuentra una lógica de relaciones, sino también cómo éste la considera más fundamental que la lógica de estructura sujeto-predicado, por cuanto se identifica con la misma lógica de Dios.

Lógica contemporánea.

Corrientes de lógica provenientes del siglo XIX.

En la mitad del siglo XIX las ideas precursoras de Leibniz hicieron su aparición y empezaron a dar vida a verdaderos sistemas de lógica simbólica. Mientras Leibniz había sido el único en tener en su tiempo la genial intuición del cálculo lógico, cuando sus ideas volvieron a aflorar independientemente de él en el siglo XIX, los tiempos estaban ya maduros para su desarrollo. Esa madurez se manifestaba como fruto natural de una serie de desarrollos de la investigación matemática, que influyeron directamente sobre la estructura de las teorías lógicas, y, según M. L. Dalla Chiara Scabia, dieron lugar a cuatro corrientes principales: la algébrico-lógica, la lógica de conjuntos, la corriente constructivista y la axiomático formalista.

La corriente algébrico-lógica.

Está representada principalmente por los ingleses Augustus De Morgan (1806-1871) y George Boole (1815-1864), el americano Charles Sanders Peirce y el alemán Ernst Schröder (1841-1902). Se caracteriza fundamentalmente por la elaboración de cálculos abstractos que son susceptibles de interpretaciones diversas, tanto lógicas como matemáticas. En ellos la lógica se convirtió en una rama de la matemática abstracta, desvinculada de la idea de cantidad y caracterizada por el estudio de las relaciones entre cálculos generales y clases de estructuras que son interpretaciones de dichos cálculos.

A partir de los desarrollos del álgebra abstracta, algunos matemáticos comenzaron a pensar en tratar las leyes lógicas con procedimientos algebraicos. William Hamilton con sus Discussions y De Morgan con su Formal Logic y su Trigonometry and Double Algebra, tras examinar las formas usuales de la silogística, montaron sobre ellas un cálculo algebraico a base de ecuaciones y sustituyeron la lógica de términos por la lógica de clases. Aunque la principal obra de De Morgan apareció en Londres en el año 1847, el mismo en que Boole publicaba su The mathematical analysis of logic, corresponde a este último el mérito de haber sido el primer auténtico constructor de la lógica matemática. Fue Boole quien diferenció un tipo de estructura abstracta que tuvo fortuna y que con propiedad fue llamada “álgebra de Boole”.

Las ideas fundamentales de The mathematical analysis of logic son las siguientes. En primer lugar, se construye un cálculo puramente algebraico mediante símbolos y operaciones definidas a partir de los mismos. Luego, se interpreta como manejo de clases y de elementos de clases (con operaciones que permiten seleccionar elementos en las clases), construyendo toda la teoría por medio de ecuaciones. Mediante tal procedimiento Boole consiguió traducir a una teoría de ecuaciones la lógica tradicional de términos y, especialmente, la silogística. Junto a esta elaboración algebraica de la lógica de términos, alude Boole también como otra interpretación del mismo cálculo a una análoga teoría algebraica de la lógica proposicional.

Boole desempeñó el papel de iniciador de la lógica matemática, ya que fue el primero que construyó un verdadero sistema de ese tipo de lógica. La obra de Boole indica un verdadero cambio de rumbo en la historia de la lógica ya que gracias a él aparecieron todos los caracteres fundamentales de la lógica simbólica moderna. Como escribió I. M. Bochenski: “En conjunto y a pesar de sus debilidades, el álgebra de Boole es una muestra de lógica de bondad raramente alcanzada. Sin duda, Boole es inferior a Aristóteles en cuanto a la originalidad y al carácter precursor de su obra, pero no es fácil nombrar otro lógico, con excepción de Frege, que después del fundador de la lógica haya creado algo tan original y avanzado”.

La corriente de la lógica de conjuntos.

Tuvo como principales representantes a Georg Cantor y Gottlob Frege y se caracteriza por proponer una perspectiva, en ciertos aspectos, inversa a la anterior corriente algébrico-lógica. El problema no fue ya transformar la lógica en una rama de la matemática, sino buscar solución para determinadas dificultades conceptuales profundas que nacen del interior de ciertas teorías matemáticas, como el análisis infinitesimal, delimitando un fundamento lógico seguro para tales teorías. Estos problemas eran de dos tipos: cómo explicitar la lógica que puede asumir ese papel fundacional respecto a la matemática y cómo realizar la reducción de todas las teorías matemáticas más importantes conocidas a esa lógica. Ambos científicos llegaron a una “lógica general”, a la que reducían las teorías matemáticas, que, sin embargo, hubo de pasar una gravísima crisis en 1902 cuando Beltrand Russell demostrara, con su famosa antinomia, la contradictoriedad de esa “lógica general” tanto en su vertiente cantoriana como fregeana.

El camino de fundamentación y reducción seguido por Cantor se hallaba estrechamente ligado a la matemática, realizándose en el marco de su “teoría (matemática) de conjuntos”. Esta teoría estaba construida sobre pocos y simples postulados, que tenían toda la apariencia de “verdades universales” y, por tanto, de principios “esencialmente lógicos”.

Frege siguió un método de fundamentación y reducción estrictamente lógico y su programa de fundamentación lógica de la matemática constituyó lo que en la lógica actual se denomina “lógica de predicados”. En 1879, Frege publicó su Begriffsschrift (1879), una obra considerada como el comienzo de la lógica formal contemporánea. En ella Frege formuló un sistema de lógica de primer orden en el que introdujo una modificación radical en el análisis de las proposiciones, ya que en lugar de analizarlas como si fueran de la forma sujeto-predicado, propuso verlas bajo la forma de función y argumento y, además, en su escrito las pruebas se llevaban a cabo de una manera estrictamente formal. El sistema de Frege contiene como conectivas básicas la negación y el condicional, definido a la manera de Filón, y el cuantificador que usa como primitivo es el universal. Con su Begriffsschrift, Frege unificó lo que autores anteriores a partir de Aristóteles habían propuesto por separado, la lógica de enunciados y la lógica de términos, y aportó una teoría general de la cuantificación que resolvía muchos de los problemas a los que se habían enfrentado los lógicos medievales, lo que junto con las otras aportaciones dio lugar al nacimiento a la lógica contemporánea.

La obra de Beltrand Russell y A. Whitehead, Principia Mathematica (1910, 1912 y 1913), puede verse como la conclusión de una de las propuestas centrales de Frege en su labor de fundamentar la matemática: mostrar que la matemática puede fundarse en la lógica. La pretensión logicista de Russell consideraba que “toda matemática pura trata exclusivamente de conceptos definibles en términos de un número muy reducido de conceptos fundamentales lógicos, y que todas sus proposiciones pueden deducirse de un número muy reducido de principios lógicos”. Russell y Whitehead reconocieron la deuda de los Principia con Frege en cuestiones de análisis lógico, si bien su simbolismo lo tomaron de Peano y el desarrollo de la aritmética y la teoría de las series de Cantor. Russell y Whitehead intentaron evitar las contradicciones que Russell encontró implícitas en el quinto axioma del sistema de Frege. Sin embargo, lo que Russell tomaría como el fundamento lógico iba más allá de lo que es la lógica elemental o lógica de primer orden y, además, Gödel había demostrado que es imposible derivar toda la matemática de una base axiomática.

A partir de la distinción introducida por Frege entre dos clases de significados de las configuraciones lingüísticas (los significados como “extensiones”, que representan la referencia concreta de las configuraciones lingüísticas, y los significados como “intensiones”, que representan el contenido conceptual), Tarski sería el gran sistematizador de la semántica extensional con su teoría matemática de los significados como extensiones.

El artículo de Alfred Tarski “El concepto de verdad en los lenguajes formalizados” (1935) es considerado el acta de nacimiento de la nueva semántica. Tarski, a partir de la identificación de los significados con sus extensiones en el sentido de Frege, intentó responder a problemas sobre lo que significa interpretar una teoría, sobre el significado de que una proposición sea verdadera respecto a una interpretación dada o que una interpretación verifique los axiomas de una teoría y sobre lo que sea exactamente una verdad lógica. Sus respuestas fueron sumamente naturales y trataban de expresar en “buena caligrafía formal” los principios que el pensamiento común y el pensamiento científico aplican continuamente, incluso de modo no explícito. El gran mérito de Tarski fue transformar en una definición matemática rigurosa una idea intuitiva de verdad, ya definida por Aristóteles, profundamente enraizada en el razonar del sentido común, si bien con frecuencia de un modo inconsciente. La semántica de Tarski fue el fundamento de un sector muy importante en la lógica moderna que se institucionalizó bajo el nombre de “teoría de modelos”.

La corriente constructivista.

Defendía, a diferencia de los logicistas, que el verdadero problema no es la fundamentación de la matemática. La matemática tiene un carácter primitivo y representa esencialmente el resultado de construcciones mentales humanas. El principal problema es justificar el cuerpo de las teorías matemáticas como fruto de ese complejo de construcciones mentales. Pero no toda la matemática históricamente elaborada parece que puede justificarse como construcción mental. El análisis infinitesimal, por ejemplo, apela esencialmente a hipótesis de carácter metafísico que dan a los entes matemáticos existencia independiente de la mente en un mundo supraceleste sin ser construidos por el pensamiento; el problema que se plantea es el de acotar cuál es la matemática que admite una justificación filosófica de tipo constructivo. Las respuestas a este problema han sido diversas y han dado lugar a variadas teorías matemáticas, en las que, curiosamente, las hipótesis filosóficas determinan el tipo de matemáticas que se producen.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer fue el fundador de la dirección intuicionista. Según Brouwer, la matemática no es un sistema de fórmulas y reglas, sino una forma fundamental de actividad humana basada en la capacidad de abstraer el concepto del “dos” a partir de fases sucesivas de la experiencia humana y de ver cómo esta operación puede repetirse indefinidamente para engendrar la secuencia infinita de los números naturales. En el sistema de la matemática basado en esta intuición primordial, el lenguaje sirve meramente como ayuda para la memoria y la comunicación, y no puede por sí mismo crear un nuevo sistema matemático; las palabras y fórmulas tienen significado solamente en cuanto se apoyan en una actividad mental esencialmente no-lingüística. Lo decisivo en el intuicionismo no son tanto sus matices psicologistas como su énfasis en la constructibilidad y la forma de matemática determinada por el criterio intuicionista de significación.

En la matemática clásica está implícita la idea de que para saber el significado de un enunciado es suficiente saber las condiciones bajo las cuales ese enunciado es verdadero o falso, aunque dichas condiciones pudieran ser tales que nunca pudiera determinarse si son o no ciertas. Los intuicionistas no admiten la posibilidad de un vacío entre lo que puede establecerse significativamente y lo que puede reconocerse como verdadero o como falso. Según su teoría, puede saberse el significado de un enunciado solamente cuando puede reconocerse una prueba del mismo, ya que comprender un enunciado es simplemente saber qué es lo que constituye una prueba o verificación de dicho enunciado.

El psicologismo de Brouwer fue filosóficamente cuestionado por Ludwig Wittgenstein, al mostrar éste que es dudosa la tesis de que el lenguaje sea solamente un acompañamiento incidental del pensamiento, requerido únicamente para fines de memoria y de comunicación. Una formulación de los principios de la lógica intuicionista se llevó a cabo en 1930 por un discípulo de Brouwer, Arend Heyting. Varias ramas de la matemática fueron desarrolladas de nuevo desde el punto de vista intuicionista, pero estas reconstrucciones son a menudo complicadas y, en algunos casos, particularmente en aquellos que envuelven nociones de teoría de conjuntos, han producido un rechazo completo más bien que una reconstrucción de la matemática clásica.

La corriente axiomático-formalística.

Embrionaria en el siglo XIX, llegaría a imponerse en el siglo XX gracias a las obras del matemático alemán David Hilbert y de su escuela. La aportación fundamental de esta orientación consistió en el abandono del criterio de la evidencia como garantía de la verdad y el perfeccionamiento del método axiomático, es decir, justificar una teoría matemática significa simplemente demostrar su corrección formal, es decir, demostrar que la teoría no origina contradicciones. Desde esta perspectiva, fundamentar las matemáticas significa reconstruir el sistema de teorías matemáticas históricamente conocidas en forma de teorías axiomáticas formales y demostrar que se trata de teorías no contradictorias (véase contradicción).

El método axiomático mostró a Hilbert una clara superioridad sobre el enfoque genético. Mientras que éste iba extendiendo los conceptos poco a poco, a medida que aparecía su necesidad, una teoría axiomatizada invitaba a plantear una serie de cuestiones generales que se referían a las relaciones lógicas existentes entre las proposiciones. Hilbert consideró como central entre dichas cuestiones el problema de establecer la consistencia, o libertad de contradicción. De este modo pretendió consolidar de una vez para siempre los fundamentos de la matemática y darles una nitidez tal que el axioma de elección fuese tan claramente perceptible como la verdad aritmética más sencilla.

La escuela formalista, a la que pertenecieron Wilhelm Ackermann, Paul Bemays y John von Neumann, logró establecer cierto número de resultados metamatemáticos de considerable significado, pero sin llegar a completar el programa original de Hilbert, pues, aunque se consiguió probar la consistencia de sistemas de aritmética cada vez más fuertes, no se alcanzó a disponer de ninguna prueba para el sistema completo exigido por la teoría clásica de números.

A partir de 1930, la euforia formalista que había caracterizado a la lógica simbólica de la escuela hilbertiana empezó poco a poco a entrar en crisis. En este año, Kurt Gödel demostró sobre un conjunto de axiomas de lógica elemental que a partir de este conjunto es posible derivar todas (completitud) y sólo (corrección) las verdades lógicas. Esto parecía apoyar la propuesta de Hilbert de demostrar la consistencia de las matemáticas, pues de la corrección del sistema se sigue sin problemas su consistencia. Pero el mismo Gödel, un año después, mostró que una axiomatización lo suficientemente fuerte como para derivar de ella la aritmética elemental de los números naturales, si la misma es consistente, entonces será esencialmente incompletable, es decir, habrá verdades matemáticas que no será posible obtener como teoremas. Gödel mostró que no son equivalentes las nociones de verdad matemática y la de teorema y que no hay una equivalencia entre el aspecto semántico y el aspecto sintáctico de la matemática. El teorema de Gödel mostraba los límites inherentes al formalismo puro, al no estar en condiciones de asegurar desde dentro su propia consistencia por estar necesariamente afectado de incompletitud semántica. Por tanto, la función del método axiomático como instrumento para la sistematización rigurosa de las teorías deductivas podía ser ejercida sólo hasta cierto punto, desde el momento que en cualquier teoría deductiva que poseyera un mínimo de complejidad había proposiciones verdaderas que no son demostrables mediante ningún sistema axiomático. De este modo, el problema de la “verdad” volvía al escenario de la investigación lógica y se enriquecía así con los problemas semánticos.

En la línea del formalismo de Hilbert y su escuela, defensora de sistemas axiomáticos con signos carentes de significado, se había desarrollado en Europa el neopositivismo de Ludwing Wittgenstein y de Rudolf Carnap con la tesis de que la lógica de un lenguaje determinado se identificaba con su sintaxis sin vinculación a los contenidos del discurso. Pero, a sólo un año de la publicación de la obra de Carnap La sintaxis lógica del lenguaje, apareció el artículo de Tarski “El concepto de verdad en los lenguajes formalizados” que hizo que el propio Carnap modificara su pensamiento con la elaboración de una teoría de las relaciones entre los signos de un sistema axiomático y lo expresado por ellos (semántica). Llegó incluso a reconocer que el concepto de verdad no es sólo atribuible a proposiciones que expresen un contenido factual, sino también a las proposiciones de la lógica como consecuencia de su significado, pues son siempre verdaderas. La semántica sería reconocida como complemento indispensable del tratamiento puramente formalista de los cálculos lógicos.

Desarrollos actuales de la lógica.

El cuadro actual de la lógica es muy rico, no sólo por el número de trabajos y resultados, sino también por las áreas exploradas. Como escribió Ferrater Mora, toda clasificación de campos lógicos ha de resultar prematura. El número de adjetivos, o de especificaciones, que siguen a “lógica” es casi abrumador. Además de lógica bivalente, polivalente e intuicionista, se habla de lógica modal, o lógicas modales, lógica cronológica o temporal, lógica probabilista, lógica erotética, lógica deóntica, lógica de la acción, lógica de las preferencias, lógica del cambio, lógica de imperativos, lógica epistémica, lógica de la creencia, lógica de la información, lógica presuposicional, lógica libre o lógica con huecos libres, lógica sin supuestos existenciales, lógica borrosa, lógica de la relevancia, lógicas desviadas, lógica estándar, lógicas no estándar, etc.

En 1995, un proyecto de investigación compartido por el Instituto de Filosofía del Consejo Superior de Investigaciones Científicas de Madrid, el Instituto de Investigaciones Filosóficas de la Universidad Nacional Autónoma de México y el Centro de Investigaciones filosóficas de Buenos Aires, editó el volumen séptimo, Lógica, de la Enciclopedia Iberoamericana de filosofía. De los estudios de Raúl Orayen, Lorenzo Peña, Sergio Martínez Muñoz, Eugenio Bulygin, Margarita López Campos, José M. Méndez, Newton C. A. da Costa y Renato A. Lewin, escritos en esta publicación, se toman las referencias que expresan una panorámica aproximada a los desarrollos novedosos más actuales de la lógica.

La lógica modal.

La lógica modal ha atravesado cuatro períodos. Uno “prehistórico” abarcaría desde el tiempo de Aristóteles (384-322 a. C.) hasta 1912, año en que C. I. Lewis inauguró la historia moderna de la disciplina. Aristóteles había examinado las relaciones que vinculan entre sí los asertos de “posibilidad”, “imposibilidad” y “necesidad” y había edificado toda una silogística “modal” junto a la “asertórica”. Pero en 1918, C. I. Lewis introdujo un nuevo tipo de implicación, distinta de la llamada implicación “material” y denominada “implicación estricta”, en cuanto acarreaba además la “necesidad” de la relación implicativa. El segundo período, llamado “etapa sintáctica”, está caracterizado por el surgimiento de sistemas axiomáticos modales, presentados sin una semántica sistemática, que se extendería desde 1912 hasta 1959; en esta etapa destaca la importante figura de von Wright. La etapa “semántica” comenzaría este último año (1959), en el que Kripke comenzó a publicar trabajos sobre la semántica de mundos posibles y se investigó la aplicación de los métodos de Kripke a varios sistemas particulares que se habían estudiado de manera sintáctica en el período anterior; Kanger (1957) y Hintikka (1961) son dos lógicos de singular importancia en esta etapa. La última etapa, llamada “la época de la metalógica modal generalizada”, no tendría un comienzo muy nítido en el tiempo, pero podría situarse hacia finales de la década de los sesenta y tendría como principales representantes a E. Lemmon (1977), D. Scott (1977), K. Segerberg (1971), R. Goldblatt (1976) y J. Van Benthem (1982). En esta época, hasta la actualidad, el interés por sistemas particulares es reemplazado en gran parte por una tendencia a estudiar las propiedades de sistemas modales de diferentes clases o las relaciones del lenguaje modal con ciertas estructuras. Muchos de los trabajos caen en dos áreas que se denominan “teoría de la completitud” y “teoría de la correspondencia”.

Lógicas multivalentes.

La idea central subyacente a la construcción de lógicas multivalentes es la de que hay un cierto campo fronterizo entre la verdad total y la completa falsedad. Esta idea tiene hondas y remotas raíces en el pensamiento de Heráclito, Platón, Raimon Llull y Nicolás de Cusa, pero fue Charles S. Peirce quien esbozó claramente por vez primera en 1909 un sistema de lógica trivalente y además elaboró argumentos filosóficos convincentes a su favor. Su plan de una matemática triádica o tricotómica concebía la inclusión del dominio limítrofe entre la afirmación y la negación positivas como un ensanchamiento más que como un debilitamiento de la lógica clásica. El primer sistema estricto de lógica multivalente en ser dado a conocer en público fue el sistema trivalente del lógico polaco Lukasiewicz en 1920, pero fue M. Wajsberg quien en 1932 realizó una axiomatización completa para la lógica trivalente de Lukasiewicz. En años sucesivos aparecieron trabajos de estudio sintáctico y semántico de esos y otros sistemas multivalentes por los lógicos polacos J. Slupecki, Boleslaw Sobocinski, St. Jaskowski, etc.

El lógico norteamericano E. Post, independientemente de los anteriores lógicos, inventó en 1921 otro sistema diferente de lógica trivalente que dio lugar a estudios algebraicos que luego se revelaron fructíferos. En ese orden del estudio algebraico han abundado cada vez más las contribuciones destacadas, entre las que cabe citar las de G. Moisil (1972), R. Balbes (1974), P. Dwinger (1974), J. Varlet (1975), H. Rasiowa (1974) y R. Cignoli (1980). Otros aportes originales fueron los sistemas trivalentes de S. C. Kleene, A. Urquhart (1986) G. Malinowski (1979) y W. Rautenberg (1979).

Un gran desarrollo de estudios y de aplicaciones de lógicas multivalentes tuvo lugar desde que en 1965 el ingeniero electrónico Lofti Zadeh (1975) inauguró el tratamiento de las lógicas de lo difuso y de las teorías de conjuntos difusos. La idea central fue tomar como función característica de un conjunto una que tome sus valores o imágenes en un conjunto de más de dos valores de verdad. Quienes más han contribuido a propagar el uso y cultivo de las viejas y nuevas lógicas multivalentes han sido los ingenieros electrónicos. Relacionados con estos estudios aparecieron tratamientos de inteligencia artificial y temas conexos utilizando lógicas paraconsistentes multivalentes, como las “lógicas anotadas”. Otra área donde ha prosperado la lógica multivalente es la del tratamiento semántico de las lógicas relevantes, desarrolladas desde los años setenta. La relación entre lógicas multivalentes y lógicas de la relevancia ha sido investigada por A. Urquhart (1986), R Sylvan (1989) e I. Urbas.

La lógica cuántica.

La lógica cuántica fue propuesta inicialmente por Garett Birkhoff y John von Neumann en 1936, como un intento por dar una solución radical al problema de la interpretación de la teoría cuántica. Su objetivo fue descubrir la estructura lógica que subyace a las teorías físicas que como la mecánica cuántica no se conforman a la lógica clásica sugiriendo que la transición de la mecánica clásica a la mecánica cuántica involucró el paso de un cálculo proposicional clásico a un cálculo proposicional con una estructura no clásica. La tesis fundamental de Birkhoff y von Neumann fue que debía considerarse una cierta estructura algebraica generada por la teoría cuántica como el álgebra de Lindebaum-Tarski de una nueva lógica, la lógica del mundo empírico, asumiendo que la mecánica cuántica es la teoría física que describe más fielmente ese mundo empírico.

La lógica deóntica.

Aunque puedan verse numerosos antecedentes en el siglo XIV y en Bentham, Leibniz y Mally, la lógica deóntica tiene la fecha de nacimiento precisa en el año 1951, año de la aparición del artículo de Georg Henrik von Wright “Deontic Logic”. En este artículo se exponen una serie de analogías sugestivas entre el comportamiento lógico de los conceptos modales aléticos (posible, imposible, necesario) y los conceptos deónticos o normativos de permitido, prohibido y obligatorio. La interpretación de la lógica deóntica estuvo influida por el problema que en los años treinta fue formulado por el filósofo danés J. Jorgensen y que desde entonces es conocido como el “dilema de Jorgensen”.

Von Wright concibió en 1951 la lógica deóntica como una lógica de normas, y las normas fueron tratadas sin mayor fundamentación como entidades verdaderas o falsas. Pero pocos años después, en 1957, calificó su primer ensayo como “filosóficamente poco satisfactorio” por haber atribuido a las normas valores de verdad y expresó la idea de que la importancia de la lógica deóntica residía precisamente en el hecho de que las normas, aunque alejadas del ámbito de la verdad, están sin embargo sometidas a leyes lógicas. Más tarde, en 1963, von Wright formuló con claridad en su obra Norm and Action la distinción entre normas y proposiciones normativas. Von Wright partió del hecho de que las oraciones del lenguaje corriente en las que figuran términos típicamente deónticos (‘obligatorio’, ‘prohibido’, ‘permitido’, etc.) son sistemáticamente ambiguas, ya que tales términos pueden ser interpretados tanto prescriptivamente (expresiones de normas), como descriptivamente (expresiones de proposiciones acerca de las normas). Esta distinción abrió el camino para la construcción de una lógica deóntica como una lógica de las proposiciones normativas que fue recorrido por von Wright al concebir la lógica deóntica como una lógica de las expresiones deónticas interpretadas descriptivamente. A partir de la idea de que la peculiaridad de esta lógica de las proposiciones normativas consiste en que en ella se reflejan las propiedades de las normas mismas, von Wright propuso desarrollar, en lugar de dos simbolismos diferentes (uno para la lógica de normas y uno para la lógica de las proposiciones normativas), un solo simbolismo que admitiera dos interpretaciones diferentes, una interpretación prescriptiva y otra descriptiva.

La lógica temporal.

La lógica temporal cuenta con antecedentes, aunque sin desarrollar, en el Perí Hermeneias de Aristóteles cuando escribió que el tiempo puede modificar el valor de verdad de las proposiciones y en Diodoro de Cronos (Escuela Megárica), quien dio los primeros pasos en esta lógica al tratar el tema de la definición de las modalidades. Las ideas de Diodoro tuvieron una gran difusión en toda la lógica antigua y medieval.

A partir de 1950, la figura fundamental de la lógica temporal como una rama autónoma dentro de la lógica fue Arthur Prior. Su idea básica fue que el momento del tiempo al que se refiere una proposición es decisivo para atribuir un valor de verdad a dicha proposición. Prior defiende la importancia de una lógica temporal autónoma (frente a lógicos como Quine) y ofrece multitud de axiomatizaciones de sistemas de lógica temporal, dependientes de las concepciones que se tengan en cada caso sobre del tiempo. Es decir, un sistema que recoja una concepción del tiempo circular será diferente de un sistema que, por ejemplo, recoja una concepción del tiempo como ramificado en el futuro.

Desde Prior el desarrollo de la lógica temporal ha sido enorme, especialmente en las dos últimas décadas del siglo XX, por la amplia variedad de campos a los que se puede aplicar: filosóficos, exegéticos, lingüísticos, informáticos y matemáticos. Los desarrollos han sido especialmente amplios en lingüística e informática. En lingüística, M. Bras (1990) ha utilizado la lógica temporal para el estudio de las estructuras lógicas de las formas de razonamiento asociadas con el lenguaje natural. Estos modos de razonamiento han conducido a R. Kowalski y M. Sergot (1986) al desarrollo de importantes aplicaciones prácticas, como por ejemplo en el cálculo de eventos y en el razonamiento por defecto. En informática, como consecuencia de los estudios de A. Pnueli (1977), E. Audureau, P. Enjalbert, L. Fariñas del Cerro (1989) y J. P. Bahsoun (1988), la lógica temporal se ha manifestado apta para ser aplicada a la teoría de la programación, especialmente para el estudio del comportamiento tanto de programas secuenciales como de programas paralelos.

La lógica de la relevancia.

El origen de la lógica de la relevancia actual fue el artículo escrito por W. Ackermann en 1956 “Begründung einer strengen Implikation”, pero su sistematización y su desarrollo se debe a A. R. Anderson, N. D. Belnap y sus colaboradores en 1962, quienes establecieron las bases filosóficas que validarían el intento de construir una lógica de la relevancia. La motivación fundamental tras la lógica de la relevancia fue inicialmente filosófica, ya que Anderson y Belnap querían definir una alternativa a la lógica clásica en la formalización del discurso ordinario. La lógica de la relevancia es, en la actualidad, un campo en continua expansión que, desbordando las coordenadas iniciales, ha dado, y está dando lugar, a importantes desarrollos técnicos en álgebra intensional, teoría de sistemas formales, semántica de los mundos posibles no-estándar, teoría de la computación, teoría de conjuntos no clásica y filosofía de la lógica.

La lógica paraconsistente.

La lógica paraconsistente hace referencia al conjunto de temas históricos, filosóficos y científicos relacionados con el concepto de contradicción. Engloba temas como la filosofía de Heráclito, Hegel y Marx, la naturaleza y los límites de la dialéctica, contradicción y realidad y el significado de una ontología paraconsistente, es decir, basada en una lógica paraconsistente. Dos precursores de la lógica paraconsistente fueron el lógico polaco J. Lukasiewicz y el filósofo ruso N. A. Vasilev, quienes en 1910, de forma totalmente independiente, estudiaron la posibilidad de una lógica paraconsistente. Lukasiewicz, en un artículo del Boletín Internacional de la Academia de Ciencias de Cracovia, discurrió sobre una lógica donde no fuera válida la ley de contradicción en alguna de sus formas. Vasilev modificó la lógica en su presentación aristotélica, construyendo lógicas imaginarias que no eliminaban la existencia de contradicciones verdaderas. Sin embargo, Vasilev no desarrolló sus sistemas dentro de los patrones de rigor y amplitud de la lógica contemporánea y permaneció prisionero de la concepción aristotélica de la lógica. El primero en formular un cálculo proposicional paraconsistente fue el lógico polaco S. Jaskowski, creador del que llamó “cálculo lógico discusivo o discursivo” (aunque Jaskowski no axiomatizó su cálculo proposicional, tan sólo lo definió por intermedio de una interpretación en un sistema modal de Lewis).

El verdadero creador de la lógica paraconsistente fue el brasileño N. C. A. da Costa en las décadas de los años 1950 y 1960. Independientemente de los trabajos de Lukasiewicz y de Vasilev, N. C. A. da Costa construyó jerarquías infinitas de cálculos lógicos paraconsistentes, cálculos proposicionales, cálculos de predicados de primer orden, con y sin identidad, cálculos de descriptores y teorías de conjuntos paraconsistentes. Con sus discípulos brasileños, especialmente con A. I. Arruda, E. H. Alves, I. M. L. D´Ottaviano W. A. Carnielli y L. P. Puga, desarrolló lógicas paraconsistentes de distinta naturaleza, como por ejemplo sistemas relacionados con la vaguedad, lógica polivalente, lógica relevante, y lógicas deónticas y modales.

La lógica paraconsistente se ha convertido hoy en una de las disciplinas más cultivadas en el mundo, en gran medida por sus aplicaciones a las ciencias de la computación, en especial a la inteligencia artificial. Una reseña de de Newton C. A. da Costa y Renato A. Lewin, da idea de la extensión de la lógica paraconsistente. En Estados Unidos, C. Pinter investigó un sistema lógico, emparentado con la lógica discusiva de Jalkowski, que se denomina lógica de la ambigüedad inherente, la cual tiene aplicaciones en inteligencia artificial y en lingüística. R. L. Epstein se ocupó de la paraconsistencia dentro del campo de una visión propia de la lógica. R. C. Wolf trató cuestiones filosóficas relacionadas con las lógicas paraconsistentes y relevantes. N. Belnap, trabajando en fundamentos de computación, formuló una lógica tetravalente que es paraconsistente. En Chile, R. Chuaqui trató la lógica de la verdad pragmática, en una de sus posibles interpretaciones, evidenciando con da Costa que se trata de una lógica discusiva. En Argentina, trabajaron la lógica paraconsistente M. Fidel, A. R. Raggio y F. Asenjo. En Uruguay, C. E. Caorsi ha intentado aplicar ciertos sistemas paraconsistentes a los fundamentos del psicoanálisis. En Israel, A. Avron desarrolló una versión nueva tanto de la paraconsistencia como de la relevancia. En Australia, Routley y Meyer estudiaron una forma de lógica paraconsistente y relevante que bautizaron como lógica dialéctica; G. Priest creó un sistema paraconsistente que ha intentado aplicar prácticamente a todos los problemas más importantes de la filosofía, la ciencia y la técnica; C. Mortensen ya estructuró un cálculo diferencial paraconsistente y está desarrollando una matemática paraconsistente (la que incluye el álgebra, el análisis, la geometría y la mecánica); otro lógico importante radicado en Australia es M. Bunder, con una vasta contribución técnica. En la Unión Soviética han destacado en la lógica paraconsistente W. Smirnov, V. A. Bazhanov, A. S. Karpenko e I. S. Narski. En Polonia, además de Jaskowski, tienen revelancia L. Dubikajtis y J. Kotas. En Italia sobresalen D. Marconi, N. Grana, S. Coradeschi, P. Bottura, M. L. Dalla Chiara y N. Grana. En España, L. Peña ha construido una lógica paraconsistente y ha aplicado sus ideas lógicas a los más variados tópicos, como por ejemplo, la dialéctica. En Francia han cultivado esta lógica M. Guillaume, J. V. Béziau y en Bulgaria, H. Smolenov y S. Petrov.

(Véase también lógica matemática y circuitos lógicos).

Bibliografía.

ACKERNANN, W.: “Begründung einer stregen Implikation”, en The Journal Symbolic Logic, 21, 1956, pp. 113-128.
ADAMSON, R.: A Short History of Logic, Edimburgo-Londres: Dubuque, 1963.
AGAZZI, E.: La lógica simbólica, Barcelona: Herder, 1973.
ALCHOURRÓN, C. E. (Ed.): Lógica. Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía, Madrid: Trotta, 1995.
ANDERSON, A. R.-BELNAP, N. D.: Entailment. The Logic of Relevance and Necessity, Princeton University Press, 1975.
ARISTÓTELES: Tratados de lógica (Organon), 2. vols., Madrid: Gredos, 1988.
ASHWORTH, E. J.: Language Logic in the Post Medieval Period, Dordrecht: Kluwer Academic, 1974.
AUDERAU, E.-ENJALBERT, P.-FARIÑAS DEL CERRO, L.: Logique temporelle, semantique et validation de programmes parallèles, París: Masson, 1989.
BAHSOUN, J. P.: Expression de la synchronisation dans un module control paré priorité: implantation et méthode de preuve, Université Paul Sabatier, Toulouse, 1988.
BALBES, R.-QWINGER, P.: Distributive Lattices, Columbia, Missouri: University of Missouri Press, 1974.
BARREIRO DE NUDLER, T.: Lógica dinámica, México: Kapelusz, 1969.
BAYER, R.: Epistemologie et logique depuis Kant jusqua nos jours, París, 1954.
BIRKHOFF, G.-VON NEWMAN, J.: “The Logic of Quantum Mechanics”, en Ann. Math., 37, 823-843.
BLANCHÉ, R.: La logique et son histoire daristote á Russell, París: A. Colin, 1970.
BOCHENSKI, M. J.: Historia de la lógica formal, Madrid: Gredos, 1966.
—: Historia de la lógica formal, Madrid: Gredos, 1967.
—: Los métodos actuales del pensamiento, Madrid: Rialp, 1976.
BÓHNER, P.: Medieval Logic. An outline of its development from 1250-c. 1400, Manchester Univesity Press, 1959.
BOLL, M.-REINHART, J.: Las etapas de la lógica, Buenos Aires, 1961.
BOOLE, G.: El análisis matemático de la lógica, Madrid: Cátedra, 1979.
—: The Mathematical Analysis of Logic, Londres-Cambridge, 1979.
BRAS, M.: Calcul des structures temporalles du discorus, Toulouse: Université Paul Sabatier, 1990.
BULYGIN, E.: “Lógica deóntica”, en ALCHOURRON, C. A.: Lógica. Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía, Madrid: Trotta, 1995, pp. 129-142.
BUNGE, M.: La ciencia, su método y su filosofía, Buenos Aires, 1973.
CASTRILLO, P.-VEGA REÑON, L.: Lecturas de Lógica II, Madrid: UNED, 1984.
CARNOTA, R. J.: “Lógica e inteligencia artificial”, en ALCHOURRON, C. A.: Lógica. Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía, Madrid: Trotta, 1995, pp. 143-184.
CIGNOLI, R.: “Some Algebraic Aspects of Many-valued Logic”, en DUMN, J. M.-EPSTEIN, G. (Comp.): Modern Uses of Multiple-Valued Logic, Dordrecht: Teidel, 1977, pp. 49-70.
COPI, I.-COHEN, C.: Introducción a la lógica, Buenos Aires: Eudeba, 1987.
DA COSTA, N. C. A.-LEWIN, R. A.: “Lógica paraconsistente”, en ALCHOURRON, C. A.: Lógica. Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía, Madrid: Trotta, 1995, pp. 185-204.
DALLA CHIARA SCABIA, M. L.: Lógica, Barcelona: Labor, 1976.
DE LORENZO, J.: Iniciación a la teoría intuitiva de conjuntos, Madrid: Tecnos, Madrid, 1972.
DE RIJK, L. M.: Logica Modernorum: A Contribution to the History of Early Terminist Logic, 3 vols., 1962-1967.
DEAÑO, A.: Introducción a la lógica formal 1, Madrid: Alianza Editorial, 1974.
—: Introducción a la lógica formal. 2. La lógica de predicados, Madrid: Alianza Editorial, 1975.
—: “La lógica formal hoy”, en Revista de Occidente, 4, 1976, pp. 89-96.
—: Las concepciones de la lógica, Madrid: Alianza Editorial, 1980.
DOPP, J.: Nociones de lógica formal, Madrid: Tecnos, 1969.
FALGUERA LÓPEZ, J. L.-MARTÍNEZ VIDAL, C.: Lógica clásica de primer orden, Madrid: Trotta, 1999.
FERRATER MORA, J.: Lógica matemática, México: F. C. E., 1962.
—: Diccionario de filosofía, 4 vols., Madrid: Alianza Editorial, 1984.
FREGE, G.: Conceptografía, UNAM, México, 1972.
—: Estudios sobre semántica, Barcelona: Ariel, 1971.
FREUND: “Lógica epistémica”, en ALCHOURRON, C. A.: Lógica. Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía, Madrid: Trotta, 1995, pp. 205-214..
JEFFREY, R. C.: Lógica Formal, Pamplona: Universidad de Navarra, 1986.
GARRIDO, M.: Lógica y lenguaje, Madrid: Tecnos, 1989.
—: Lógica simbólica, Madrid: Tecnos, 1994.
GEACH, P. T.: Reference and Generality an Examination of Some Medieval and Modern Theories, lthaca., 1968.
GÖDEL, K.: Obras completas, Madrid: Alianza Editorial, 1981.
GOLDBLATT, R.: “Metamathematics of Modal Logic”, Reports on Mathematical Logic, 6, 1976, pp. 41-77, 7, 1976, pp. 21-52.
HAACK, S.: Filosofía de las lógicas, Madrid: Cátedra, 1982.
HALMOS, P. R.: Teoría intuitiva de conjuntos, México: CECSA, 1965.
HAMILTON, A. G.: Lógica para matemáticos, Madrid: Paraninfo, 1981.
HERMES, H.: Introducción a la teoría de la computabilidad, Madrid: Tecnos, 1984.
HINTIKKA, J.: “Modality and Quantification”, en Theoria, 27, 1961, pp. 119-128.
HOOKER, C. A. (Comp.): The Logico-Algebraic Approach to Quantum Mechanics, vols. I y II, Dordrech: Reideal, 1975-1979.
HUNTER, G.: Metalógica: Introducción a la metateoría de la lógica clásica de primer order, Madrid: Paraninfo, 1981.
JANE, I.: “Lógica de orden superior”, en ALCHOURRON, C. A.: Lógica. Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía, Madrid: Trotta, 1995, pp.105-128.
KANGER, S.: Probability in Logic, Estocolmo: Almqvist y Wiksell, 1957.
KLEENE, S. C.: Introducción a la Metamatemática, Madrid: Tecnos, 1974.
KNEALE, W.-KNEALE, M.: El desarrollo de la lógica, Madrid: Tecnos, 1980.
KOWALSKI, R.-SERGOT, M.: “A Logic-based Calculus of Events”, en New Generation Computing, 4, 1986, pp. 67-95.
LUKASIEWICZ, J.: La silogística de Aristóteles desde el punto de vista de la lógica formal, Madrid: Tecnos, 1977.
LARGEAULT, J.: Logique et philosophie chez Frege, Nauwelaerts, París, Lovaina, 1970.
LEMMON, E.-SCOTT, D.: An introduction to Modal Logic, Oxford: Blackwell, 1977.
LEWIS, C. I.: A Survey of Symbolic Logic, Berkeley: University of California Press, 1918.
LUKASIEWICZ, J.: “Über den Satz des Widerspruchs bei Aristoteles”, en Bulle. Inter. de l´Academie des Sciences de Cracovie, Classe d´Histoire de Philosophie, 1910, pp. 15-38.
—: Estudios de Lógica y Filosofía, Madrid: Revista de Occidente, 1975.
MALINOWSKI, G.: Topics in the Theory of Stregthenings of Sentential Calculi, Varsovia: Institutute of Philosophy and Sociology, 1979.
MANZANO, M.: Teoría de modelos, Madrid: Alianza Editorial, 1989.
MARTINEZ MUÑOZ, S. F.: “Lógica cuántica”, en ALCHOURRON, C. A.: Lógica. Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía, Madrid: Trotta, 1995, pp. 227-236..
MATES, B.: Lógica de los estoicos, Madrid: Tecnos, 1985.
—: Lógica matemática elemental, Madrid: Tecnos, 1974.
MÉNDEZ, J. M.: “Lógica de la relevancia”, en ALCHOURRON, C. A.: Lógica. Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía, Madrid: Trotta, 1995, pp. 237-270.
MENNE, A.: Introducción a la lógica, Madrid: Gredos, 1976.
MIRÓ QUESADA, F.-CARRIÓN WAM, R. (Comp.): Antología de la lógica en América Latina, Universidad de Carabobo, Fundación Banco Exterior, Valencia, Venezuela, Madrid, 1988.
MITCHELL, D.: Introducción a la lógica, Barcelona: Labor, 1968.
MOISIL, G.: Essai sur les logiques non chrysippiennes, Bucarest: Éditions de l´Academie de la Republique Solcialiste de Roumanie, 1972.
MOSTERÍN, J.: Lógica de primer orden, Barcelona: Ariel, 1970.
—: “Computabilidad”, en ALCHOURRON, C. A.: Lógica. Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía, Madrid: Trotta, 1995, pp. 271-288.
NICOLAS, J. A.-FRAPOLLI, M. J.: Teorías de la verdad en el siglo XX, Madrid: Tecnos, 1997.
NIDDITCH, P. H.: The Development of Mathematical Logic, Nueva York, 1962.
NOVACK, G.: Introducción a la lógica, Barcelona: Fontamara, 1982.
ORAYEN, R.: “Lógica modal”, en ALCHOURRON, C. A.: Lógica. Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía, Madrid: Trotta, 1995, pp. 289-322.
QUESADA, D.: “Lógica clásica de primer orden”, en ALCHOURRON, C. A.: Lógica. Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía, Madrid: Trotta, 1995, pp. 71-104.
PEÑA, L.: “Lógicas multivalentes”, en ALCHOURRON, C. A.: Lógica. Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía, Madrid: Trotta, 1995, pp. 323-250.
PLATZECK, E. W.: La evolución de la lógica griega, Barcelona: C. S. I. C., 1954.
PNUELI, A.: “The temporal logic of programs”, en Proc. 18th Ann. Symp. Foundations of Computer Science, RI, Nueva York, IEEE, 1977, pp. 46-57.
PRIOR, A. N.: Historia de la lógica, Madrid: Tecnos, 1976.
QUINE, W. V. O.: Lógica matemática, Madrid: Revista de Occidente, 1972.
—: Los métodos de la lógica, Barcelona: Ariel, 1981.
RAUTENBERG, W.: Klassische und nichtklassische Aussagenlogik, Braunschwaig/Wiesbaden: Friedr. Wieweg Sohn, 1979.
RASIOWA, H.: An algebraic Approach to Non-classical Logics, Amsterdam: North-Holland, 1974. RESCHER, N.: “Desarrollos y orientaciones recientes en lógica”, en Teorema, 2, 1971, pp. 51-64.
ROBERT, S.: La logique, son histoire, ses fondements, Le Préambule, Longueuil, 1978.
ROBLES GARCIA, J. A.: “Historia de la lógica”, en ALCHOURRON, C. A.: Lógica. Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía, Madrid: Trotta, 1995, pp. 49-70.
RUSSELL, B.: A Critical Exposition of the Philosophy of Leibniz, Londres, 1900.
—: Lógica y conocimiento, Madrid: Tecnos, 1981.
SACRISTÁN, M.: Introducción a la lógica y al análisis formal, Barcelona: Ariel, 1964.
SÁNCHEZ-CUESTA, M.: La nueva lógica, Madrid: Marsiega, 1974.
SEGERBERG, K.: An Essay in Clasical Modal Logic, Uppsala: Philosophical Studies, University of Uppsala, 1971.
SCHOLZ, H.: Esquisse dune histoire de la logique, París: Aubier-Montaigne, 1968.
SUPPES, P.: Teoría axiomático de conjuntos, Cali: Norma, 1968.
URQUHART, A.: “Many-Valued Logic”, en GABBAY, D. GUENTHNER, F. (Comp.): Handbook of Philosophical Logic, vol. III, 1986, pp. 71-116.
VALDÉS, L. (Ed.): La búsqueda del significado, Madrid: Tecnos, 1991.
VÁZQUEZ CAMPOS, M.: “Lógica temporal”, en ALCHOURRON, C. A.: Lógica. Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía, Madrid: Trotta, 1995, pp. 215-226.
VAN BENTHEM, J.: Modal Logic and Classical Logic, Bapoli: Biblipolis, 1982.
VARLET, J.: Structures algébriques ordonnées, Université de Liège, Institut de Mathématique, Lieja, 1975.
VEGA REÑON. L.: Lecturas de Lógica I, Madrid: UNED, 1981.
—: La trama de la demostración, Madrid: Alianza Universidad, 1990.
WHITEHEAD, A. N.-RUSSELL, B.: Principia Mathematica, 3 vols., Cambridge Univertity Press, 1919-1913.
WITTGENSTEIN, L.: Tractatus Logico-Philosopbicus, Madrid: Alianza Editorial, 1973.
WRIGHT, G. H. von: “Deontic Logic”, Mind, 60, 1951, pp. 1-15.
—: Logical Studies, Londres: Routledge and Kegan Paul, 1957.
—: Norm and Action, Londres: Routledge and Kegan Paul, 1963.

LÓGICA

Fuente: Britannica

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