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Definición de Espacio matemático

 Conjunto dotado de unas estructuras que, en algunos aspectos, representan abstracciones de hechos observables en el universo.

Espacio abstracto

Espacio construido a partir de unos elementos relacionados por unos axiomas. De ellos, se obtienen por deducción lógica todas las proposiciones de la geometría correspondientes a ese espacio. Ver Geometría.

Espacio totalmente acotado

Espacio métrico tal que para casa número 0, existe un conjunto finito de puntos, centros de entornos esféricos de radio  , que forman un recubrimiento del espacio.

Espacio afín

Espacio dotado de una operación externa, *, por los elementos de un espacio vectorial, que satisface las condiciones:

1) para cada par de puntos p y q, del espacio, hay un vector v tal que q = p * v.
2) ( p * v ) * w = p * ( v * w ) , siendo v y w vectores del espacio vectorial.

El ejemplo más simple de espacio afín es el espacio habitual, sin la introducción de la noción de medida: las relaciones fundamentales son las de incidencia, intersección y paralelismo, y las trasformaciones propias, que conservan esas relaciones, son las afinidades.

Espacio de Banach

Espacio vectorial normado que es completo respecto de la métrica definida por la norma: || x – y || es la distancia entre los puntos x e y. Ver Espacio vectorial.

Espacio cociente

Conjunto cociente de un espacio dado respecto de una relación de equivalencia, cuando las relaciones que definen el espacio dado ( linealidad, distancia, … ) inducen relaciones análogas en el conjunto cociente.

Espacio compacto

Espacio topológico tal que de cualquier conjunto de abiertos de dicho espacio cuya unión es el espacio mismo, se puede extraer un conjunto finito de tales abiertos cuya unión es también el espacio dado. Ver Topología.

Espacio secuencialmente compacto

Espacio topológico en el que toda sucesión de elementos del espacio contiene una subsucesión convergente. Ver Topología.

Espacio completo

Espacio métrico en el que toda sucesión de Cauchy de puntos del espacio converge a un punto del mismo espacio. ver Sucesión matemática.

Espacio localmente conexo

Espacio topológico tal que cada punto tiene un sistema fundamental de entornos conexos. Ver Topología.

Espacio simplemente conexo

Espacio cuyo grupo fundamental no contiene más que el elemento neutro.

Espacio conexo por arcos

Conjunto tal que dos puntos cualesquiera de él pueden ser unidos por un arco cuyos puntos pertenezcan al conjunto. Un espacio conexo por arcos es conexo, pero no es necesariamente cierta la afirmación recíproca.

Espacio dual

Espacio vectorial constituido por todas las formas lineales de un espacio vectorial dado: el espacio de las formas es el dual del espacio dado.

Espacio euclídeo

Espacio métrico formado por todos los elementos del producto cartesiano R x R x R x …. x R, n factores iguales al cuerpo R de los números reales, con la siguiente definición de distancia; si x = ( x1 , x2, …., xn), y = ( y1, y2, …, yn) son elementos de este espacio,
_________________________________________
dist(x, y) =  (x1 – y1)2 + (x2 – y2)2 + … + (xn – yn)2

Tal espacio euclídeo se denominará de dimensión n. Cuando n es 2 ó 3, se tienen los espacio geométricos habituales bi o tridimensionales.

Espacio localmente euclídeo

Espacio topológico con la propiedad de que todo punto suyo posee un entorno homeomorfo a un abierto del espacio euclídeo n-dimensional. El espacio dado se dice que es también de dimensión n.

Espacio fibrado

Estructura que consta de dos espacios topológicos, E y B, y una aplicación continua del primero en el segundo; cada punto de B posee un entorno U tal que -1 (U) es homeomorfo con U x F, siendo F un nuevo espacio topológico, llamado fibra. Ver Topología.

Espacio de Fréchet

Espacio topológico localmente convexo, metrizable y completo. Ver Topología.

Espacio geométrico

Representación ideal y unívoca del espacio físico, en cuanto que sus elementos son esquematizaciones o abstracciones de entes de existencia real.

Espacio de Hausdorff

Espacio topológico que posee la propiedad de que, para cualesquiera puntos distintos a y b, existen dos abiertos disjuntos que contienen, respectivamente, a “a” y a “b”. Ver Topología.

Espacio de Hilbert

Espacio vectorial dotado de una multiplicación interior respecto de la cual es completo. Un espacio de Hilbert es un espacio de Banach para la norma definida por el producto interior. Ver Espacio vectorial.

Espacio de Lindelöf

Espacio topológico en el que cada uno de sis recubrimientos abiertos contiene un sub-recubrimiento numerable. Ver Topología.

Espacio medible

Par formado por un conjunto y una  – álgebra definida sobre las partes de ese conjunto.

Espacio de medida

Terna (X, A, ) formada por un conjunto X, una  – álgebra A de subconjuntos de X, y una medida  definida sobre A. Cada elemento de A es un conjunto medible, y el valor de  correspondiente a este conjunto es su medida.

Espacio métrico

Conjunto en el que se ha definido una noción de distancia.

Espacio metrizable

Espacio topológico en el que se puede introducir una noción de distancias tal que la tipología definida por ella coincida con la del espacio topológico. Ver Topología.

Espacio muestral

Conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio; por ejemplo, asociado al experimento aleatorio de lanzar un dado, el espacio muestral es el constituido por las seis distintas caras del dado.

Espacio normal

Espacio topológico que cumple la condición de que para cualquier par de conjuntos cerrados disjuntos A y B hay dos abiertos, también disjuntos, uno de los cuales contiene a A y el otro a B. Un espacio normal es regular. Ver Topología.

Espacio completamente normal

Espacio topológico en el que para cada par de conjuntos A y B, ninguno de los cuales contiene un punto de la clausura del otro, hay dos abiertos disjuntos tales que uno de ellos contiene a A y el otro a B. Ver Topología.

Espacio paracompacto

Espacio de Husdorff con la propiedad de que, para cualquier recubrimiento abierto suyo, existe otro recubrimiento formado por una familia de abiertos localmente finita tal que dado uno de estos abiertos está contenido en uno de los del recubrimiento primero. Un espacio paracompacto es regular y normal.

Espacio probabilístico

Abstracción matemática de un fenómeno aleatorio, a saber, una terna (, A, P) constituida por un espacio muestral , una  – álgebra A en  y una probabilidad P definida sobre los sucesos de la  – álgebra. El espacio muestral contiene los posibles resultados, la  – álgebra contiene los sucesos de interés para los cuales está definida la probabilidad.

Espacio probabilístico completo

Espacio cuya  – álgebra contiene a todos los subconjuntos de la  – álgebra de probabilidad cero.

Espacio con producto interior

Espacio vectorial en el que se ha definido un producto interior. Un tal espacio es normado por la siguiente definición de norma:
_____
|| a || =  (a, a) ; y es también métrico para esta definición de distancia: d (a, b) = || a – b ||, cualesquiera que sean los elementos a y b del espacio.

Espacio proyectivo

Espacio afín al que se han añadido sus puntos del infinito. Las relaciones fundamentales del espacio proyectivo son las de incidencia e intersección y sus transformaciones propias, que conservan esas relaciones, las proyectividades.

Espacio regular

Espacio en el que, para cualquier entorno U de un punto, existe otro entorno del punto cuyo cierre está contenido en U.

Espacio completamente regular

Espacio topológico con la propiedad de que,para cada punto p y cada entorno U de p, hay una función continua f con valores en el intervalo [0, 1] tal que f(p) = 1 y f(x) = 0, cuando x no está en U. Ver Topología.

Espacio de Riemann

Variedad diferenciable en la que se ha definido una métrica por un producto interior: en cada abierto coordenado, el elemento de arco estará dado, por consiguiente, por una forma diferencial cuadrática simétrica y definida positiva:
ds2 =  gij ( x1, x2, …., xn ) dxi dxj ; gij = gji
i,j=1..n
A esta forma se la llama también tensor métrico fundamental. Ver Diferencial de una función.

Espacio separable

Espacio topológico que contiene un conjunto contable de puntos denso en ese espacio. Ver Topología.

Espacio T0

Espacio topológico con la propiedad de que dados en él dos puntos distintos cualesquiera, x e y, hay un conjunto abierto que contiene a X y no contiene a y, o un abierto que contiene a y no contiene a x. Fer Topología.

Espacio T1

Espacio topológico que tiene la propiedad de que, dados dos puntos x e y distintos, hay un conjunto abierto que contiene a x y no contiene a y. Es sinónimo de espacio de Fréchet. Ver Topología.

Espacio T3

Espacio topológico que es T1 y regular. Ver Topología.

Espacio T3 1/2

Espacio topológico T1 que es completamente regular. Ver Topología.

Espacio T4

Espacio topológico T1 que es, además, normal. Ver Topología.

Espacio T5

Espacio topológico T1 que es completamente normal. Ver Topología.

Espacio topológico

Conjunto en el que está definida la proximidad de un punto a otro dado. Conjunto en el que está definida una topología. Ver Topología.

Espacio uniforme

Conjunto X en el que está definida la proximidad de dos puntos mediante un filtro, llamado uniformidad, en X x X. Todo espacio uniforme es un espacio topológico completamente regular y viceversa. En particular, todo espacio métrico, todo grupo topológico y todo espacio compacto son espacios uniformes. Ver Topología.

Espacio vectorial

Conjunto en el que se han definido dos operaciones con estas propiedades: 1) una operación interna de adición respecto de la cual es un grupo abeliano; 2) una operación externa de multiplicación de los elementos del espacio vectorial por los elementos de un cuerpo que verifica:

c( v + w ) = cv + cw
(c + d)v = cv + dv
(cd)v = c (dv)
1v = v

para cualesquiera elementos v y w del espacio vectorial y cualesquiera c y d del cuerpo, siendo 1 el elemento neutro de la multiplicación del cuerpo. Ver Espacio vectorial.

Espacio vectorial complejo

Espacio vectorial en el que el cuerpo base de escalares es el de los números complejos. Ver Espacio vectorial.

Espacio vectorial cuadrático

Espacio vectorial en el que se ha definido una forma cuadrática o, equivalente, la forma bilineal simétrica asociada a la forma cuadrática. Ver Espacio vectorial.

Espacio vectorial normado

Espacio vectorial real o complejo, cada uno de cuyos elementos, v, tiene asociado un número real no negativo, || v || , llamado norma de v, que verifica las siguientes condiciones:
1) || v || 0 si v 0;
2) || rv || = | r | || v ||;
3) || v + w ||  || v || + || w ||;
Ver Espacio vectorial.

Espacio vectorial real

Espacio vectorial en el que el cuerpo base de escalares es de los números reales. Ver Espacio vectorial.

Espacio vectorial topológico

Espacio vectorial que es un grupo topológico respecto de la adición; en cuanto a la multiplicación por escalares, es continua en el sentido siguiente: para cada entorno U de av existe un entorno V de a y un entorno W de v, tales que para rodo a’que pertenece a V y todo v’que pertenece a W, el producto a’v’ pertenece a U. Ver Espacio vectorial .

Espacio matemático

Fuente: Britannica

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Historiador, Ingeniero y Matemático embarcado en un proyecto que aglutine dichas disciplinas.

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