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Definición de Método de Ruffini

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 [Matemáticas]

Método que se utiliza para calcular soluciones de las ecuaciones de grado mayor que 2, o lo que es lo mismo, para la búsqueda de raíces de polinomios de dichos grados. Este método debe su nombre a su creador, el matemático italiano Paolo Ruffini (1765-1822). El método de Fuffini también resulta muy útil en la factorización de polinomios.

En esencia, el método de Ruffini sirve para realizar divisiones de polinomios P(x) entre polinomios del tipo x-a, donde a es un número real cualquiera, que será raíz del polinomio si se obtiene como resto de la división el valor 0. Los valores a entre los que se encuentran las posibles raíces enteras son los divisores del término independiente del polinomio dado P(x), con lo que dichos valores serán los que haya que comprobar al utilizar este método (véase Polinomio).

Este método tiene grandes limitaciones: sólo es válido para ecuaciones con coeficientes enteros y con él solo se pueden calcular soluciones enteras. Pese a esto, dada la complejidad que existe para encontrar las soluciones de las ecuaciones de grado mayor que dos, es el más usado a este propósito.

Para dividir un polinomio, por ejemplo

2×4 + 3×3 – x – 2 = 0

entre otro del tipo x – a, por ejemplo x – 2, utilizando el método de Ruffini hay que seguir los siguientes pasos:

1. Se escriben los coeficientes de la ecuación de izquierda a derecha, en orden decreciente según los grados del término al que pertenezcan, y se añaden ceros en los términos de la ecuación que falten. Se colocan, junto con el número a, en la disposición siguiente:

| 2 3 0 -1 -2
2|___________________
|

2. A continuación se baja el primer coeficiente debajo de la línea y se multiplica por el número a. El producto se escribe debajo del coeficiente siguiente, al que se suma, y el resultado se escribe debajo de la línea:

| 2 3 0 -1 -2
2|_____4_____________
| 2 7

3. Se repite el paso 2 con el número obtenido en la suma. Esto se repite hasta llegar al último coeficiente.

| 2 3 0 -1 -2
2|_____4__14__28__54_
| 2 7 14 27 52

4. El último número obtenido es el resto de la división (en el ejemplo 52) y el resto de los números son los coeficientes del polinomio cociente, así, por la igualdad de la división de polinomios:

2×4 + 3×3 – x – 2 = (2×3 + 7×2 + 14x + 27)(x – 2) + 52

Como se ha explicado antes, y se puede observar en el ejemplo, si el resto hubiese sido 0, resultaría que 2 sería una raíz del polinomio, o lo que es lo mismo, una solución de la ecuación representada por ese polinomio igualado a cero. De esta forma, para resolver una ecuación de grado mayor que 2, por ejemplo

2×4 + 5×3 – 5x – 2 = 0

por el método de Ruffini:

1. Se buscan los divisores del término independiente:

Los divisores de -2 son: 2, 1, -1, -2

2. Se realizan divisiones por cada divisor del término independiente utilizando el método de Ruffini hasta encontrar uno con el que se obtenga resto 0. Este divisor será la primera solución de la ecuación:

| 2 5 0 -5 -2
2|_____4__18__32__54_
| 2 9 18 27 52

| 2 5 0 -5 -2
1|_____2___7___7___2_
| 2 7 7 2 |_0

3. Una vez encontrada la primera raíz, para encontrar las siguientes se realiza el mismo proceso con los coeficientes que se han obtenido como resultado. Esto se repetirá hasta que no se pueda aplicar más este método:

| 2 5 0 -5 -2
1|_____2___7___7___2_
| 2 7 7 2 |_0
-1|____-2__-5__-2_
| 2 5 2 |_0
-2|____-4__-2_
| 2 1 |_0

4. Cuando no se pueda continuar, se plantea la ecuación que se ha obtenido como cociente, y se intentan encontrar las soluciones que quedan de la forma habitual (véase Ecuaciones algebraicas):

2x + 1 = 0
x = -1/2

Este método resulta también muy útil para factorizar polinomios. En el ejemplo anterior el polinomio quedaría factorizado de la siguiente forma:

2×4 + 5×3 – 5x – 2 = (x – 1)(x + 1)(x + 2)(2x + 1)

Como se puede comprobar, el último factor es el cociente obtenido en la última división realizada con el método de Ruffini.

Temas relacionados

Polinomios.
Ecuaciones algebraicas.

MÉTODO DE RUFFINI

Fuente: Britannica

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