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Definición de Número áureo

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 [Matemáticas]

Número irracional que representa una proporción muy importante en el mundo del arte y que además aparece constantemente en la naturaleza, tanto es así, que se le han otorgado propiedades casi mágicas a lo largo de la historia. El número áureo, o razón áurea, se representa con el símbolo correspondiente a la letra griega phi (f), en honor, según parece, a Fidias, el creador del Partenon griego. También llamado “número de Fidias”, el número áureo se define de la forma siguiente:
_
1 + 5
f  ——– = 1,61803398…
2

Este número posee unas propiedades aritméticas muy interesantes, las cuales tienen como consecuencia muchas de los usos que de él se han hecho. Son las siguientes:

1/f = f – 1
f2 = f + 1
fn = fn-1 + fn-2

Número áureo en la geometría

La proporción áurea surge cuando los antiguos griegos estudiaron la división de un segmento en dos partes, de tal forma que la proporción entre la parte mayor y todo el segmento fuera la misma que la existente entre la parte mayor y la menor. Esta proporción es la que hoy llamamos número o razón áurea.

La primera referencia escrita donde se explica lo anterior se encuentra en Los elementos de Euclides (siglo III a.C.).

De esta propiedad geométrica se deduce fácilmente la definición de dicho número:

a+b a b a 1 a
—– = —  1 + — = —-  1 + —– = —
a b a b a b

b
Si hacemos x = a/b:

x + 1 = x2  x2 – x – 1 = 0
_ _
1 ± 5 a 1 + 5
x = ——– = —   = ——–
2 b 2

La figura geométrica en la que más se utiliza esta proporción es el llamado rectángulo áureo, que tiene como lado mayor el segmento completo anterior, a+b, y como lado menor la parte más grande en la que se divide, a, con lo que los lados del rectángulo resultante estarán en proporción áurea. Se construye partiendo de un cuadrado, en el que se marca el punto medio en un lado, el cual se une con uno de los vértices opuestos, y esa distancia se lleva sobre el lado inicial. De esta forma se obtiene el lado mayor del rectángulo, que tendrá como lado menor el del cuadrado inicial.

Una propiedad muy importante de este tipo de rectángulos consiste en que si se le añade un cuadrado en su lado mayor, el rectángulo que resulta es proporcional al anterior. De esta forma pueden construirse rectángulos áureos semejantes y lo que se conoce como la espiral áurea, cuyos radios aumentan en dicha proporción.

Este tipo de construcciones es uno de los motivos por los que el rectángulo áureo es uno de los más utilizados. Otro motivo curioso es que se trata del rectángulo que mejor se acomoda a nuestra capacidad perceptiva, por lo que la mayoría de los rectángulos que se utilizan en el arte son áureos. Es muy fácil, por ejemplo, comprobar que en la fachada de la mayoría de las iglesias y catedrales existen muchos rectángulos de este tipo. Incluso en las tarjetas de crédito, en el actual D.N.I. o en las cajetillas de tabaco nos encontramos con rectángulos áureos .

Otra figura geométrica estrechamente relacionada con este número es el pentágono regular y la estrella formada por sus diagonales. Los lados de dicho pentágono están en proporción áurea con sus diagonales, y no sólo esto, los distintos segmentos en los que se puede dividir la estrella, también guardan dicha relación. Las connotaciones místicas que de este hecho se podrían derivar, es uno de los motivos por los que la secta pitagórica utilizaba este símbolo como emblema.

La sucesión de Fibonacci

Es la sucesión matemática que se construye a partir de dos términos iniciales dados, cuyo término general es la suma de los dos términos anteriores de la sucesión, es decir, “an=an-2+an-1″. Cuando se considera que los dos primeros términos de la sucesión valen 1, se obtiene lo que se denomina propiamente la sucesión de los números de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Si se consideran los cocientes que existen entre los términos consecutivos de dicha sucesión,

1 2 3 5 8 13 21 34
—, —, —, —, —, —-, —-, —-, …
1 1 2 3 5 8 13 21

se observa que éstos se aproximan cada vez más al número áureo, de hecho, este número es el limite de dicha sucesión; de esta forma, los números de Fibonacci están ligados de manera muy importante a la razón áurea.

Esta sucesión fue ideada por Fibonacci como solución a un problema de poblaciones de conejos. Pese a que este modelo no tuvo mucho éxito en su concepción inicial, esta sucesión modeliza de manera asombrosa muchas formas de crecimiento y desarrollo vegetal.

El número áureo en el arte y la naturaleza

La proporción áurea ha sido, y es, muy utilizada a la hora de realizar composiciones artísticas, sobre todo en pintura, escultura y arquitectura. Su uso fue mayor en épocas artísticas basadas en el arte de la Grecia clásica, donde la búsqueda de la armonía estética era uno de los principios básicos.

Uno de los mayores ejemplos arquitectónicos de diseño basado en la razón áurea es el Partenón griego. La altura y la base frontal, por ejemplo, están en dicha proporción. De la misma forma, muchas otras partes de este templo se encuentran ligadas a este número.

También la Gran Pirámide de Keops (S. XIII a.C.) tiene la razón áurea como parte de su diseño: al dividir cualquiera de las alturas de los triángulos que la forman entre uno de los lados se obtiene el doble del número áureo.

La Alhambra de granada y el Monasterio del Escorial son otros ejemplos de diseño arquitectónico basado en la proporción áurea.

En una ilustración del libro de Luca Pacioli editado en 1509, La Divina Proporción, aparece uno de los ejemplos mas bellos del uso de la proporción áurea: El hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci En ella que se muestra un famoso estudio de las proporciones humanas que hizo el artista italiano.

En este estudio se muestra un hombre inscrito en un cuadrado de lado su altura y en una circunferencia centrada en su ombligo. La relación entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia es la razón áurea, es decir, la altura total de un hombre y la de su ombligo están en proporción áurea. La importancia que tiene en la obra de este artista se puede ver en una de sus obras más conocidas, La Gioconda, donde la cara es un rectángulo áureo dividido en dos partes a la altura de los ojos que mantienen dicha proporción.

En el siglo XX, el arquitecto Le Corbusier también basó su sistema de proporciones humanas, el modulor, en el número áureo. Según el arquitecto suizo las siguientes longitudes están en proporción áurea: la altura de una persona y la altura de su ombligo; la altura de una persona con el brazo levantado y la altura del brazo en posición horizontal; la altura del brazo en posición horizontal y la altura a la que se encuentra la mano con el brazo relajado.

Como se puede comprobar, el número áureo está directamente ligado con las dimensiones del cuerpo humano.

No sólo el arte y la mano del hombre crean elementos impregnados de esta proporción, sino que lo más llamativo es su localización en una cantidad innumerable de motivos de la naturaleza. La espiral áurea, por ejemplo, cuyos radios se encuentran entre sí en proporción áurea, se encuentra en la forma de la concha de varios moluscos, como el nautilus, o en la distribución de las semillas de algunos vegetales, como el girasol o la piña; incluso la forma de las galaxias espirales se ajusta a la espiral áurea.

El desarrollo de los vegetales está estrechamente relacionado con los números de Fibonacci y, en consecuencia, con en número áureo. La cantidad de pétalos que tienen las flores, por ejemplo, suelen ser números de Fibonacci, o números de Fibonacci duplicados, con lo que la relación entre los ángulos que forman los distintos pétalos se aproxima a la razón áurea. También, si se divide una planta en niveles, el número de ramas que hay en cada uno de ellos es un número de Fibonacci, con lo que la relación entre las ramas de un nivel con respecto a las del nivel siguiente tiende al número áureo.

Si observamos con cierto detenimiento a nuestro alrededor, y analizamos los objetos que nos resulten especialmente atractivos y armónicos, es muy probable que nos encontremos con esta “mágica” proporción.

Enlaces en Internet

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html; Página muy completa sobre la sucesión de Fibonacci. En inglés.
http://webs.adam.es/rllorens/picuad/leonardo.htm; Página donde se desarrolla un amplio estudio sobre el hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci. En español.

Bibliografía

STEWART, Ian. “Deshojando la margarita” en Investigación y Ciencia. Marzo 1995, págs. 86-89.

NÚMERO ÁUREO

Fuente: Britannica

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